- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
2. Деякі властивості дійсних чисел
Наведемо деякі властивості дійсних чисел.
Число є розв'язком рівняння.
Доведення. Підставимо в дане рівняння замість його значення:
.
Згідно з
Згідно з
Згідно з
Згідно з
Зауваження.Числоназивається різницею чиселтаі позначається. Зазначимо, що за умовирізниця. Дійсно, якщо, то заОдержуємо, далі заМаємо, тобто.
Число є розв'язком рівняння, якщо.
Доведення. Підставимо в дане рівняння значення:
.
Згідно з .
Згідно з .
Згідно з .
Згідно з .
Зауваження.Числоназивається часткою чиселйі позначаєтьсяабо.
Якщо , то.
Дійсно, оскільки , то. Отже, за, звідки одержуємо.
Зокрема, якщо , то, а якщо, то.
Дійсно, згідно з , далі за. Отже,
0= − 0.
Якщо і, то.
Дійсно, якщо і, то за,. Далі згідно з.
5. Якщо та, то.
Дійсно, якщо , то згідно з і за 4 одержуємо:.
6. .
Це випливає з того, що .
7. .
Справді, .
.
Дана рівність доводиться так: .
.
Доведення:
Зокрема, .
Якщо і, то.
Дійсно, оскільки , то, а тому(згідно з). Отже,, а звідси.
Якщо та, то.
Справді, оскільки , то, а тому(згідно з). Отже,, а звідси маємо.
Якщо , то.
Це випливає з і 11.
За властивістю маємо:, тобто.
Надалі будемо використовувати й інші властивості дійсних чисел, не спиняючись на їх формальному доведенні.
Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
Множину дійсних чисел позначатимемо буквою .
ЛЕКЦІЯ 4
Поняття ізоморфізму.
Інтерпретація множини дійсних чисел.
Найбільш вживані числові множини.
Межі числових множин.
Абсолютна величина числа.
1. Поняття ізоморфізму
Нехай задані дві множини об'єктів і , причому в першій визначені деякі відношення між її об'єктами, а в другій – відношення між відповідно своїми об'єктами.
Множини і з указаними на них відношеннях називаються ізоморфними (позначається ), якщо між ними встановлено бієктивне відображення , при якому з наявності відношення випливає відношення , де .
Будь-яку множину об'єктів , ізоморфну множині , можна розглядати як "модель" множини і зводити вивчення властивостей множини до вивчення властивостей "моделі" .
Нехай і − дві частково впорядковані множини і нехай . Якщо з умови , де , випливає нерівність , то говорять, що відображення зберігає порядок.
Відображення є ізоморфізмом частково впорядкованих множин та , якщо воно бiєктивне, а співвідношення справджується тоді й тільки тоді, коли . Самі множини і при цьому ізоморфні.
2. Інтерпретація множини дійсних чисел
Розглянемо пряму з фіксованою точкою − початком координат. Нехай задана одиниця виміру. Тоді множину дійсних чисел можна поставити у взаємно однозначну відповідність із точками прямої: точці , яка лежить справа від точки , поставимо у відповідність число , рівне довжині відрізка . Тоді , яка лежить зліва від точки , число , де – довжина відрізка , а точці – число 0. Число , яке відповідає точці , називається координатою точки . Пряма з описаними властивостями називається числовою прямою. Отже, кожній точці числової прямої відповідає дійсне число – її координата. Має місце й обернене твердження: кожному дійсному числові відповідає деяка точка числової прямої, а саме точка , координата якої . При так установленій відповідності між дійсними числами і точками прямої нерівність рівносильна тому, що точка з координатою лежить зліва від точки з координатою . Отже, можна говорити про ізоморфізм множини дійсних чисел і множини точок числової прямої, тобто що числова пряма є моделлю множини дійсних чисел.
Надалі, говорячи про дійсні числа, замість слова "число" іноді вживається слово "точка". У зв'язку з цим числові множини ще називають точковими.
Використовуючи аксіому неперервності множини дійсних чисел, можна встановити, що множина дійсних чисел, яка задовольняє умову , є незчисленною. Говорять, що ця множина має потужність континууму. Із цього випливає, що множина всіх дійсних чисел незчисленна. Можна також довести, що множина раціональних чисел зчисленна. Отже, множина ірраціональних чисел незчисленна, оскільки вона є множиною (якби множина ірраціональних чисел була зчисленною, то і множина була б зчисленною, оскільки ).