1. Поняття відображення або функції

Нехай X іYдві множини. Відображенням f множини X у множину Yназивається правило, яке кожному елементу ставить у відповідність один і тільки один елемент .

Замість слова "відображення" можна вживати "функція", "оператор", "відповідність".

Записи означають, щоfє відображенням множини X у множину Y.

Для позначення функції вживаються й інші букви, наприклад .

Елемент y, який відображення f ставить у відповідність елементу , називається образом елемента при відображенніfабо значенням відображення fу точці і позначається символом . Множина Xназивається областю визначення відображенняfі позначається . Множина називається множиною значень відображення f.

Нехай . Образом множиниAпри відображенніf називається множина . Прообразом множини при відображенні називається множина .

Графіком функції називається множина .

Якщо і , то функція , яка визначається формулами називається складеною функцією, або суперпозицією функційf іg.

Приклади.

Відображення називається відображенням множиниХ на множину або сур'єкцією, якщо .

Відображення називається взаємооднозначним відображенням множини X у множину Y або ін'єкцією, якщо

Відображення , яке є сур'єкцією та ін'єкцією, називається бієкцією. У цьому випадку говорять, що здійснює взаємно однозначну відповідність між множинами і .

Якщо − бієкція, то Функція називається оберненою до бієкції , якщо та .

Відображення називається послідовністю елементів із . Послідовність позначається так: де − -ний член послідовності.

2. Потужність множин

Множина, яка складається із скінченного числа елементів, називається скінченною. Для скінченної множини число її елементів позначається. Скінченні множини можна порівнювати за кількістю їх елементів. Виникає питання, як можна порівнювати нескінченні множини? Г. Кантор побудував теорію, яка містить відповідь на поставлене питання. Вихідним пунктом цієї теорії є поняття потужності множини.

Множини іназиваються рівнопотужними (мають однакову потужність), якщо існує бієкція. Рівнопотужні множини позначають так: A ~ B.

3. Зчисленні множини

Множина називається зчисленною, якщоA ~ N. У цьому випадку говорять, що елементи множиниможна занумерувати.

Мають місце наступні твердження:

1. Нескінченна підмножина зчисленної множини зчисленна.

2. Нескінченна множина містить зчисленну підмножину.

3. Об'єднання зчисленної множини зчисленних множин є зчисленною множиною.

4. Декартів добуток двох зчисленних множин зчисленний.

5. Існують незчисленні множини.

Доведення першого і другого твердження досить прості. Їх пропонується виконати самостійно. Спинимось на доведенні твердження 3.

Нехай - зчисленні множини. Тоді для кожного.

Елементи об'єднання цих множин можна подати у вигляді таблиці

……

……

……

…………………………………………

і занумерувати, наприклад у порядку, вказаному стрілками. Цим саме буде встановлена бієкція . Отже,.

Аналогічно доводиться твердження 4.

Нехай . Тоді декартів добутокскладається із пар, які можна розташувати в такому порядку

і занумерувати так, як зроблено в попередньому випадку.

Для доведення твердження 5 застосуємо діагональний метод (діагональну процедуру) Кантора.

Нехай − множина всіх можливих нескінченних ланцюгів, що складаються з двох символів, наприклад 0 і 1, вигляду

Покажемо, що множина незчисленна. Припустимо, що елементи множинизанумеровані, тобто що множиназчисленна. Нехай

де кожне дорівнює 0 або 1. Утворимо елемент, поклавши , і кожне відповідно дорівнює 0 або 1. Очевидно, що, але не збігається з жодним із занумерованих елементів. А це суперечить тому, що всі елементи множиниможна занумерувати.