- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
2. Односторонні границі
Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для будь-якої збіжної допослідовності, елементи якої більші (менші), відповідна послідовністьзбігається до числа.
Символічно це записують так:
.
Можна дати рівносильне означення односторонніх границь функції "в термінах ".
Число називається границею функції у точці справа (зліва), якщо для довільного числаіснує таке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність.
Теорема. Функція має в точці границю тоді й тільки тоді, коли в цій точці існує як права, так і ліва границя та ці границі рівні між собою. У цьому випадку границя функції дорівнює одностороннім границям.
Доведення. Нехай у точці існують односторонні границі функції і . Тоді, згідно з означенням односторонніх границь, для будь-якогоіснують числа, такі, що для всіх, які задовольняють умову, і для всіх, котрі задовольняють умову, виконується нерівність. Виберемо. Тоді для всіх, що задовольняють умову, виконуватиметься нерівність. Тобто. З іншого боку, якщо, то в точцііснують односторонні границі й.
3. Границя функції на нескінченності
Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності значень аргументу відповідна послідовністьзначень функції збігається до числа.
Символічно це записують так: .
Число називається границею функції при , якщо для будь-якої нескінченно великої послідовності , елементиякої додатні (від'ємні), відповідна послідовністьзначень функції збігається до числа.
Символічно це записують так:
.
Можна дати означення "в термінах ", рівносильні наведеним вище.
4.Теореми про границі функцій
Теорема. Якщо функція має границю в точці , то ця границя єдина.
Доведення. Припустимо, що функція має дві різні границі . Виберемо з області визначення функції довільну послідовність , збіжну до . Тоді послідовність , згідно з означенням границі функції, матиме дві різні границі, що неможливо, оскільки будь-яка збіжна послідовність має єдину границю.
Теорема. Якщо функції і мають у точці границі, то функції (при ) у точці також мають границі, причому
; (3)
; (4)
. (5)
Доведення. Нехай послідовність – довільна збіжна до послідовність значень аргументу функцій і . Тоді відповідні послідовності і збіжні й за властивостями збіжних послідовностей
;
;
(де ).
Отже, згідно з означенням границі функції мають місце співвідношення 3-5.
Теорема . Нехай функції і , визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , мають у точці границі, й такі, що в околі точки . Тоді .
Доведення. Виберемо в околі точки довільну збіжну до послідовність . Тоді послідовності і збіжні й . Тому за відповідною властивістю збіжних послідовностей .
Звідси, за означенням границі функції в точці, .
Наслідок. Якщо в деякому околі , крім, можливо, самої точки , виконується нерівність і функція у точці має границю, то .
Теорема 3.5. Нехай функції визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , функції мають у точці границю, рівну , тобто . Нехай, крім того, виконується нерівність . Тоді функція у точці має границю, рівну , тобто .
Доведення. Нехай – довільна збіжна до послідовність. Послідовності і відповідних значень функції збіжні, й . Оскільки , то згідно з відповідною властивістю збіжних послідовностей . Отже, за означенням границі функції в точці .
Зауваження. Наведені вище теореми про границі мають місце і для випадків .
ЛЕКЦІЯ 11
Визначні границі.
Нескінченно малі й нескінченно великі функції.
Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.