- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
Нехай інескінченно малі в точціфункції. Якщо, то говорять, щов околі точкиє нескінченно малою вищого порядку порівняно з, і пишуть.
Якщо , де, то функціїіназиваються нескінченно малими одного порядку в околі точки.
Якщо , де,додатне число, то функціяназивається нескінченно малою порядкувідносно нескінченно малої функції.
Якщо , то нескінченно малі функціїіназиваються непорівнянними в околі точки.
Якщо , то функціїіназиваються еквівалентними нескінченно малими в околі точки. У цьому випадку пишуть.
Теорема. Якщо прий існує границя, то існує границя, причому.
Доведення.
Наведена теорема дає можливість у багатьох випадках спрощувати знаходження границь.
Приклад.
При маємоотже,
Теорема. Для того, щоб функції ібули еквівалентними нескінченно малими в околі точки, необхідно й достатньо, щоб їх різницябула в околі точкинескінченно малою вищого порядку по відношенню до кожної з функційта.
Доведення. Нехай в околі точки. Тоді
Отже, необхідність доведено. Доведемо достатність.
Нехай .
Звідси маємо
.
Таким чином, , тобто в околі точки.
Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
ЛЕКЦІЯ 12
Неперервність функції в точці.
Операції над неперервними функціями.
Класифікація точок розриву функції.
1. Неперервність функції в точці
Нехай функція визначена в деякому околі точки .
Функція називається неперервною в точці , якщо .
Наведемо означення неперервності функції, які ґрунтуються на означеннях границі функції за Гейне і за Коші.
Функція називається неперервною в точці, якщо для будь-якої послідовності відповідна послідовність значень збігається до .
Функція називається неперервною в точці , якщо для довільного числа існує числотаке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність.
Наведені означення рівносильні.
Функція називається неперервною в точці справа (зліва), якщо .
Отже, функція неперервна в точці , якщо вона неперервна в цій точці як справа, так і зліва.
Покажемо, що неперервна функція характеризується тим, що нескінченно малому приростові аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції.
Дійсно, умову можна записати як. Тоді
.
Отже, можна дати наступне означення неперервності функції в точці . Функція називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому приростові аргументу в цій точці відповідає нескінченно малий приріст функції.
Уведене поняття неперервності функції є локальною (місцевою) властивістю. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу , то говорять, що вона неперервна на інтервалі. Якщо при цьому в точціфункція неперервна справа, а в точці– неперервна зліва, то говорять, що функція неперервна на відрізку .
Зауважимо, що термін неперервної кривої походить із поняття неперервної функції. Графіком неперервної на функції є неперервна крива ("суцільна крива").
2. Операції над неперервними функціями
Теорема. Якщо функції неперервні в точці, то функціїу точцітакож неперервні.
Доведення цієї теореми безпосередньо випливає з означення неперервності функції в точці та властивостей границь.
Теорема (про неперервність складеної функції). Якщо функція неперервна в точці , а функція неперервна в точці , причому, то складена функціянеперервна, як функція від, у точці.
Доведення. Нехай задано довільне число . Тоді за неперервністю функції у точці знайдеться числотаке, щодля всіх, які задовольняють умову.
Для числа за неперервністю функціїу точцізнайдеться числотаке, щодля всіх, які задовольняють умову.
Отже, для довільного числа знайдеться числотаке, що з умовивипливає нерівність, а це означає, що функціянеперервна в точці.
Можна довести, що всі елементарні функції в області їх визначення неперервні.
Звернемо увагу на те, що з означення неперервності функції у точці випливає
.
Наведемо приклади деяких важливих границь, обчислення яких спирається на неперервність елементарних функцій.
.
Доведення.
.
Якщо , то маємо:, тобто привиконується.
.
Доведення. Покладемо . Тоді. Якщо, тоі.
.
Якщо , то маємо:, тобто присправедливо.
.
Доведення. Покладемо . Якщо, тоі.
Далі . Звідси маємо:. Тоді
Розглянемо степенево-показниковий вираз . Нехай . Запишемо
.
Оскільки , то. Звідси маємо
.
Зазначимо, що вирази є не визначеними. Для знаходження відповіді на питання, що є границею виразу, у цих випадках недостатньо знати лише границі функцій, потрібно знати закон, за яким вони прямують до своїх границь.
3. Класифікація точок розриву функції.
Точка називається точкою розриву функції, якщо функціяу точціне є неперервною.
Точки розриву класифікують наступним чином.
Розриви першого роду. Якщо в точці функція має скінченну ліву й скінченну праву границю і вони рівні між собою, тобто
,
але відмінні від значення функції в точціабо значенняне існує, то точканазивається точкою усувного розриву функції.
Якщо в точці функціямає скінченну границю справа і скінченну границю зліва й, то точканазивається точкою розриву функціїіз скінченним стрибком.
Розриви другого роду. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці функція не має принаймні однієї з односторонніх границь або хоча б одна з односторонніх границь є нескінченною.
Кусково-неперервні функції.Функціяназивається кусково-неперервною на відрізку, якщо вона неперервна в усіх внутрішніх точках, за винятком, можливо, скінченного числа точок, у яких має розрив 1-го роду і , крім того, має односторонні границі в точкахта.