![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
1. Означення числової послідовності
Числовою послідовністю називається
відображення
.
Отже, якщо кожному натуральному числові
поставлено у відповідність дійсне число
,
то множина дійсних чисел
(1)
називається числовою послідовністю.
Числа
називаються елементами (або членами)
послідовності. Символ
називається загальним елементом
послідовності, а
його номером. Скорочено послідовність
(1) позначається так:
.
Наприклад,
є
послідовність
.
Послідовність
вважається заданою, якщо вказано правило,
за яким кожному натуральному числові
поставлено у відповідність дійсне
число
.
Найчастіше числову послідовність
задають формулою загального (
го)
члена послідовності:
.
Наприклад, формула
задає числову послідовність
Числову
послідовність можна задати рекурентною
формулою, тобто формулою, в якій указується
правило, за котрим можна виразити
наступний її член через попередні.
Наприклад, арифметична прогресія з
першим членом
та різницею
визначається рекурентною формулою
або
.
Рекурентною формулою
задається послідовність
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
що відома в математиці як " ряд Фібоначчі", а її члени – як числа Фібоначчі. Ці числа мають ряд цікавих властивостей. Нині вони використовуються при обробці інформації на ЕОМ, при відшуканні оптимальних методів програмування тощо.
2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
Добутком
послідовності
на число
називається послідовність
,
тобто
.
Сумою
послідовностей
і
називається послідовність
:
;
різницею –
послідовність
:
;
добутком –
послідовність
:
;
часткою послідовність:
;
де
.
2. Обмежені і необмежені числові послідовності
Послідовність
називається обмеженою зверху, якщо
існує таке число
,
що для всіх її членів
виконується нерівність
Послідовність
називається обмеженою знизу, якщо існує
таке число
,
що для всіх її членів
виконується нерівність
Послідовність
називається обмеженою, якщо вона обмежена
зверху й знизу.
Нехай послідовністьобмежена, тобто існують такі числа
і
,
що для будь-якого її члена
виконується нерівність
Нехай
.
Тоді умову обмеженості послідовності
можна записати так:
.
Послідовність
називається необмеженою, якщо для
будь-якого числа
існує елемент
цієї послідовності, для якого виконується
нерівність
.
Зауваження.Необмежена послідовність може бути обмеженою зверху або знизу.
Приклади.
Послідовність
обмежена знизу (
),
але не обмежена зверху.
Послідовність
обмежена зверху (
),
але не обмежена знизу.
Послідовність
обмежена зверху і знизу (
).
Послідовність
не обмежена.
4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
Послідовність
називається нескінченно великою,
якщо для будь-якого числа
існує такий номер
,
що для всіх елементів
із номером
виконується нерівність
.
Зауваження.У наведеному означенні номер
залежить від числа
,
тобто
.
Очевидно,
що всяка нескінченно велика послідовність
є необмеженою, проте не всяка необмежена
послідовність є нескінченно великою.
Наприклад, необмежена послідовність
0, 1, 0, 2, 0, 3, ..., n,
0, n+1,
… не є нескінченно
великою, оскільки не існує такого номера
,
щоб для всіх
,
де
виконувалася б, наприклад, нерівність
.
Послідовність
називається нескінченно малою, якщо
для будь-якого (як завгодно малого) числа
існує такий номер
,
що для всіх елементів
із номером
виконується нерівність
.
Зауваження.У наведеному означенні номер
залежить від числа
,
тобто
.
Приклад
1.Показати, що послідовність
є нескінченно великою.
Нехай
маємо довільне число
.
Із нерівності
або
.
Покладемо
.
Тоді
.
Оскільки
,
то
.
Отже, при
виконується нерівність
.
Приклад
2.Показати, що послідовність
є нескінченно малою.
Нехай
маємо довільне число
.
Із нерівності
одержуємо
.
Покладемо
.
Тоді для всіх
маємо
,
тобто
або
.
Теорема.Якщонескінченно велика
послідовність і всі її члени відмінні
від нуля, то послідовність
нескінченно мала, і, навпаки, якщо
нескінченно мала
послідовність й
,
то послідовність
нескінченно велика.
Доведення.Нехайнескінченно велика
послідовність. Візьмемо довільне
і покладемо
.
Оскільки
нескінченно велика послідовність, то
для вказаного
існує номер
такий, що при
виконується нерівність
.
Звідси маємо
.
Отже, послідовність
нескінченно мала.
Друга частина теореми доводиться аналогічно.