Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
42
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.57 Mб
Скачать

4. Теорема про вкладені відрізки.

Нехай задана послідовність відрізків

, де(4)

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростаннідовжина-ного відрізка прямує до нуля, тобто. Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема.Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення.З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

, (5)

а праві – незростаючу

. (6)

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і. Отже, ці послідовності мають границі. Нехай. За умовою, а тому

.

Отже, . Покладемо. Тодідля всіх, тобто точканалежить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точкиі така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якогоповинна виконуватися нерівність, з якої випливає , що, що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

(6)

яку б точку з інтервалуне взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).

ЛЕКЦІЯ 8

  1. Теорема про вкладені відрізки.

  2. Підпослідовність числової послідовності.

  3. Теорема Больцано Вейєрштрасса.

  4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.

1. Теорема про вкладені відрізки.

Нехай задана послідовність відрізків

, де (4)

для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.

Теорема.Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.

Доведення.З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність

, (5)

а праві – незростаючу

. (6)

При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому

.

Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).

Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає , що , що суперечить умові.

Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів

(6)

яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).

2. Підпослідовність числової послідовності

Нехай задана деяка послідовність . Розглянемо довільну зростаючу послідовність натуральних чисел. Виберемо з послідовностіелементи з номерами, і розмістимо їх в тому самому порядкові, що і числа.

Одержана числова послідовність називається підпослідовністю послідовності . Можна встановити, що коли послідовністьзбіжна і має границею число, то будь-яка її підпослідовність також збіжна й має границею число.

Соседние файлы в папке Mat_analiz