- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
4. Теорема про вкладені відрізки.
Нехай задана послідовність відрізків
, де(4)
для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростаннідовжина-ного відрізка прямує до нуля, тобто. Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.
Теорема.Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.
Доведення.З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність
, (5)
а праві – незростаючу
. (6)
При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і. Отже, ці послідовності мають границі. Нехай. За умовою, а тому
.
Отже, . Покладемо. Тодідля всіх, тобто точканалежить усім відрізкам (4).
Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точкиі така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якогоповинна виконуватися нерівність, з якої випливає , що, що суперечить умові.
Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів
(6)
яку б точку з інтервалуне взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).
ЛЕКЦІЯ 8
Теорема про вкладені відрізки.
Підпослідовність числової послідовності.
Теорема Больцано Вейєрштрасса.
Критерій Коші збіжності числової послідовності.
1. Теорема про вкладені відрізки.
Нехай задана послідовність відрізків
, де (4)
для всіх , таких, що кожний наступний міститься в попередньому і при зростанні довжина -ного відрізка прямує до нуля, тобто . Таку послідовність називатимемо послідовністю вкладених відрізків.
Теорема.Для будь-якої послідовності вкладених відрізків існує єдина точка, яка належить усім відрізкам даної послідовності.
Доведення.З означення вкладених відрізків випливає, що їх ліві кінці утворюють неспадну послідовність
, (5)
а праві – незростаючу
. (6)
При цьому послідовність (5) обмежена зверху, а послідовність (6) обмежена знизу, оскільки і . Отже, ці послідовності мають границі. Нехай . За умовою , а тому
.
Отже, . Покладемо . Тоді для всіх , тобто точка належить усім відрізкам (4).
Покажемо, що така точка єдина. Припустимо, що існує точка , відмінна від точки і така, що належить усім відрізкам (4). Тоді для будь-якого повинна виконуватися нерівність , з якої випливає , що , що суперечить умові.
Зазначимо, що теорема не справджується, якщо замість відрізків розглядати інтервали , наприклад для послідовності вкладених інтервалів
(6)
яку б точку з інтервалу не взяти, вона не буде належати всім інтервалам (6).
2. Підпослідовність числової послідовності
Нехай задана деяка послідовність . Розглянемо довільну зростаючу послідовність натуральних чисел. Виберемо з послідовностіелементи з номерами, і розмістимо їх в тому самому порядкові, що і числа.
Одержана числова послідовність називається підпослідовністю послідовності . Можна встановити, що коли послідовністьзбіжна і має границею число, то будь-яка її підпослідовність також збіжна й має границею число.