5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей

Теорема.Сума (різниця) двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення.Нехай і нескінченно малі послідовності. Задамо довільне . Тоді існує такий номер , що при , й існує такий номер , що при . Виберемо . Тоді при виконуватимуться нерівності і . Отже, при

.

Звідси випливає, що послідовності і нескінченно малі.

Наслідок.Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Теорема.Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Доведення.Нехайобмежена послідовність, анескінченно мала. Оскількиобмежена, то існує таке число, що для всіхвиконується нерівність. Задамо довільне. Оскільки послідовністьнескінченно мала, то існує такий номер, що привиконується нерівність. Отже, при

.

Звідси випливає, що послідовність нескінченно мала.

Наслідок 1.Добуток нескінченно малої послідовності на число є нескінченно малою послідовністю.

Наслідок 2.Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Дійсно, якщо послідовність нескінченно мала, то вона обмежена. Отже, добуток двох нескінченно малих послідовностей можна розглядати як добуток нескінченно малої послідовності на обмежену.

Із наслідку 2 випливає, що добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Зауваження.Стосовно частки двох нескінченно малих послідовностей у загальному випадку нічого сказати не можна, оскільки вона може бути нескінченно малою, постійною, нескінченно великою послідовністю або взагалі не визначеною.

ЛЕКЦІЯ 6

6. Збіжні послідовності.

7. Властивості збіжних послідовностей.

8. Невизначені вирази.

1. Збіжні послідовності

Границя числової послідовності.Числоназивається границею послідовності, якщо для будь-якого числа існує такий номер, що для всіх членів послідовностііз номеромвиконується нерівність

. (2)

Якщо число є границею послідовності , то пишуть

,

а саму послідовність називають збіжною.

Послідовність, яка не є збіжною, називається розбіжною.

Приклад. Довести, що.

Доведення.Задамо довільне число і покажемо, що існує таке натуральне число, що для всіх членів послідовностііз номером виконується нерівність .

Оскільки , то

.

Розв'язавши відносно нерівність , маємо .

Якщо в значенні узяти цілу частину числа, тобто покласти , то нерівність <ε виконується для всіх . Отже, .

Якщо послідовність збіжна і , то будь-який її елементможна подати у вигляді , де-елемент нескінченно малої послідовності .

Дійсно, якщо , то послідовністьє нескінченно малою, оскільки для будь-якогоіснує такий номер, що для виконується нерівність , тобто .

Має місце й обернене твердження. Якщо можна подати у вигляді, де  нескінченно мала послідовність, то .

Нерівність (2) рівносильна нерівності або,

із якої випливає, що знаходиться воколі точки. Отже, означення границі числової послідовності можна дати наступним чином.

Число називається границею послідовності, якщо для будь-якого числаіснує такий номер, що всі члени послідовностііз номером знаходяться воколі точки.

Очевидно, що нескінченно велика послідовність не має границі. Іноді говорять, що вона має нескінченну границю і пишуть

.

Якщо при цьому, починаючи з деякого номера, всі члени послідовності додатні ( від'ємні ), то пишуть .

Усяка нескінченно мала послідовність збіжна, причому.

Це безпосередньо випливає з означення границі числової послідовності й означення нескінченно малої числової послідовності.