1. Граничний перехід у нерівностях

Теорема .Якщо елементи збіжної послідовності, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність, то і границя цієї послідовності задовольняє нерівність.

Доведення.Нехай, починаючи з деякого номера, елементи збіжної послідовностізадовольняють нерівністьі. Припустимо, що. Оскільки, то дляіснує номертакий, що длявиконується нерівність, яка рівносильна нерівності. Тоді із нерівностіодержуємо:, що суперечить умові. Отже,.

Випадок доводиться аналогічно.

Наслідок 1.Якщо елементи збіжних послідовностейі, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівність, то.

Нехай, починаючи з деякого номера, виконується нерівність . Тоді для таких. Отже,, а тому. Звідси маємо. Другий випадок установлюється аналогічно.

Теорема.Нехай члени послідовностей,,, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівністьі. Тоді послідовністьзбіжна й.

Доведення.Задамо довільне число. Тоді для заданогознайдеться такий номер, що длявиконуватиметься нерівність, тобто. Для цього жзнайдеться такий номер, щодля, тобто.

Виберемо . Тоді виконуватиметься нерівність

для всіх .

Ураховуючи умову теореми, маємо

або , тобтодля всіх. Звідси випливає, що.

2. Монотонні послідовності

Послідовність називається неспадною ( незростаючою ), якщо виконується нерівністьдля усіх.

Неспадні та незростаючі послідовності називаються монотонними.

Якщо для всіх членів монотонної послідовності виконується строга нерівність, то послідовність називається зростаючою (спадною). Зростаючі та спадні послідовності називаються також строго монотонними.

З означення випливає, що монотонні послідовності обмежені принаймні з однієї сторони: неспадна обмежена знизу, а незростаюча – зверху.

Теорема.Монотонна обмежена послідовність збіжна.

Доведення.Розглянемо випадок неспадної послідовності.

Отже, нехай для усіх виконуються наступні умови:

1. ;

2. існує таке число , що.

Розглянемо числову множину , яка складається з усіх елементів послідовності. За умовою ця множина непорожня і обмежена зверху, а тому має точну верхню межу.

Позначимо. Покажемо, що.

Оскільки точна верхня межа елементів послідовності, то, згідно з властивістю точної верхньої межі, для будь-якогоіснує номер такий, що. Так як послідовністьнеспадна, то привиконується нерівність. З іншого боку, згідно з означенням точної верхньої межі,для всіх. Таким чином, примаємо нерівність, тобтопри. Отже,.

Для випадку незростаючої послідовності доведення аналогічне.

*** Із теорем 2.5** і 2.8** випливає, що обмеженість монотонної послідовності є необхідною і достатньою умовою її збіжності.

3. Число е

Розглянемо послідовність з загальним членом . Покажемо, що ця послідовність є збіжною. Для цього спочатку установимо, що вона зростаюча, а потім – що вона обмежена.

Згідно формули бінома Ньютона

Подамо цей вираз у наступному вигляді

(3)

Так само одержуємо

.

При виконується нерівність, тому, тобто послідовність зростаюча.

Оскільки кожний вираз, який стоїть у дужках у формулі (3) менший від одиниці і при, то

.

За формулою суми нескінченно спадної геометричної прогресії маємо

.

Отже, послідовність обмежена. Таким чином, послідовність із загальним членом збіжна. За означенням границю цієї послідовності позначають буквою, тобто

.