- •Тема 1. Вступ. Дійсні числа
- •1. Вступ
- •2. Елементи теорії множин
- •1. Поняття відображення або функції
- •2. Потужність множин
- •3. Зчисленні множини
- •4. Математична індукція
- •1. Дійсні числа
- •1. Аксіоми додавання і множення
- •2. Аксіоми порівняння дійсних чисел
- •2. Деякі властивості дійсних чисел
- •Із означення множини дійсних чисел випливає, що ця множина впорядкована.
- •1. Поняття ізоморфізму
- •2. Інтерпретація множини дійсних чисел
- •3. Найбільш вживані числові множини
- •4. Межі числових множин
- •5. Абсолютна величина числа
- •Абсолютна величина числа позначається символом.
- •Тема 2. Числові послідовності
- •1. Означення числової послідовності
- •1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
- •2. Арифметичні дії над числовими послідовностями Нехай задано послідовності і.
- •2. Обмежені і необмежені числові послідовності
- •4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
- •5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей
- •1. Збіжні послідовності
- •2. Властивості збіжних послідовностей
- •3. Невизначені вирази.
- •1. Граничний перехід у нерівностях
- •2. Монотонні послідовності
- •3. Число е
- •4. Теорема про вкладені відрізки.
- •1. Теорема про вкладені відрізки.
- •3. Теорема Больцано-Вейєрштрасса
- •4. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
- •1. Поняття метричного простору
- •2. Повні метричні простори.
- •3. Доповнення простору.
- •Тема 3. Границя функції однієї змінної
- •1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.
- •2. Односторонні границі
- •3. Границя функції на нескінченності
- •4.Теореми про границі функцій
- •1. Визначні границі
- •2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції
- •3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
- •Тема 4. Неперервні та рівномірно неперервні функції
- •1. Неперервність функції в точці
- •2. Операції над неперервними функціями
1. Поняття метричного простору
Означення метричного простору. Багато фундаментальних фактів математичного аналізу не пов'язані з алгебраїчною природою дійсних чисел, а спираються лише на поняття відстані.
Узагальненням уявлень про дійсні числа як про множину, в якій уведено відстань між елементами, є поняття метричного простору.
Метричним простором називається пара , що складається з деякої множиниелементів (точок) і відстані– однозначної, невід'ємної функції, визначеної для будь-якої пари, яка задовольняє наступні аксіоми:
тоді і тільки тоді, коли ;
(аксіома симетрії);
(аксіома трикутника).
Сам метричний простір, як правило, позначається .
Множина дійсних чисел із відстанню
утворює метричний простір, що позначається .
Виконання аксіом метричного простору для введеної таким чином відстані випливає із властивостей абсолютної величини дійсного числа.
Відкритою кулею у метричному просторіназивається сукупність точок, які задовольняють умову
.
Відкрита куля радіуса з центромназивається-околом точкиі позначається.
У просторі відкритою кулею з центромє множина точок, для яких виконується нерівність
,
а − околом точкиє множина точок, для яких
.
Точка називається точкою дотику множини , якщо будь-який її окіл містить хоча б одну точку з. Сукупність усіх точок дотику множинипозначаєтьсяі називається замиканням цієї множини.
Точка називається граничною точкою множини, якщо будь-який її окіл містить нескінченно багато точок із.
Гранична точка може належати, а може і не належати .
Точка називається ізольованою точкою множини, якщо вона належитьі існує такий-окіл точки, у якому немає точок із, за винятком самої точки.
Усяка точка дотику множини є або гранична, або ізольована точка цієї множини.
Нехай – послідовність точок у метричному просторі . Говорять, що ця послідовність збігається в точці, якщо таке, що .
Інакше це означення можна сформулювати так: послідовність збігається до, якщо.
Теорема. Щоб точка була точкою дотику множини , необхідно і достатньо, щоб існувала послідовністьточок із, яка збігається до.
Нехай – дві множини простору . Множинаназивається щільною у, якщо. Зокрема, множинаназивається скрізь щільною у просторі , якщо.
Наприклад, множина раціональних чисел скрізь щільна на числовій прямій.
Множина називається ніде не щільною, якщо вона не щільна в жодній кулі, тобто в кожній кулііснує інша куля, яка не має зжодної спільної точки.
Простори, в яких є злічена скрізь щільна множина, називаються сепарабельними.
Множина метричного просторуназивається замкнутою, якщо, тобто якщо вона містить усі свої граничні точки.
Відрізок числової прямої є замкнутою множиною.
Теорема. Переріз будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною. Сума будь-якого скінченного числа замкнутих множин є замкнутою множиною.
Точка називається внутрішньою точкою множини, якщо існує окілцієї точки, який цілком міститься в.
Множина, всі точки якої − внутрішні, називається відкритою.
Інтервал числової прямоїє відкритою множиною.
Теорема. Щоб множина була відкрита, необхідно і достатньо, щоб її доповненнядо всього просторубуло замкнутим.
Теорема. Об'єднання (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною. Переріз (скінченного або нескінченного) числа відкритих множин є відкритою множиною.
Теорема 1.5. Усяка відкрита множина на числовій прямій є сумою (об'єднанням) скінченного або зчисленного числа інтервалів, які попарно не перетинаються (не мають спільних елементів).