Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
30
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
3.57 Mб
Скачать

2. Повні метричні простори.

Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо вона задовольняє критерій Коші, тобто якщотаке, що

.

Якщо в просторі будь-яка фундаментальна послідовність збігається, то цей простір називається повним.

Простір дійсних чисел є повним.

Щоб метричний простір був повним, необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність укладених одна в одну замкнутих куль, радіуси котрих прямують до нуля, мала непорожній переріз.

Теорема Бера. Повний метричний простір не можна подати у вигляді об'єднання зліченного числа ніде не щільних множин.

Із теореми Бера зокрема випливає, що всякий повний метричний простір без ізольованих точок незліченний.

3. Доповнення простору.

Якщо простір не повний, то його завжди можна включити єдиним способом у повний простір.

Простір називається доповненням метричного простору, якщо:

  1. є підпростором простору ;

  2. скрізь щільний у , тобто.

Простір усіх дійсних чисел є доповненням просторураціональних чисел.

Тема 3. Границя функції однієї змінної

ЛЕКЦІЯ 10

  1. Границя функції. Означення границі функції в точці за Гейне й за Коші.

  2. Односторонні границі.

  3. Границя функції на нескінченності.

  4. Теореми про границі функцій.

1. Границя функції. Означення границі функції за Гейне й за Коші.

Нехай функція визначена на множині і точкає граничною точкою множини. Виберемо ізпослідовність точок, відмінних від:збіжну до. Значення функції в точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність.

Означення границі функції за Гейне. Число називається границею функції у точці ( або при), якщо для будь-якої збіжної допослідовності значень аргументу, відмінних від, відповідна послідовність значень функції збігається до числа.

Символічно це записують так: .

Означення границі функції за Коші. Нехай функція визначена в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки. Число називається границею функції у точці , якщо для довільного числа існує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, що задовольняють умову.

Означення границі функції за Гейне і за Коші еквівалентні.

Дійсно, нехай згідно з Гейне. Покажемо, що в цьому випадку для довільного числаіснує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, що задовольняють умову, тобто щозгідно з означенням Коші.

Припустимо протилежне. Нехай існує таке, що для довільногоіснує точка, для якої з умовивипливає нерівність. Розглянемо послідовність, де. Виберемо точкитакі, що

(1)

і

. (2)

Оскільки , то, але за нерівністю (2), що суперечить умові, тобто щозгідно з Гейне.

Нехай тепер згідно з Коші. Покажемо, щоі згідно з Гейне.

Отже, нехай для будь-якого існує числотаке, що із нерівностівипливає нерівність. Виберемо довільну послідовність точокзбіжну до. Тоді для значення, відповідного, знайдеться такий номер, що для всіхвиконуватимуться нерівностіі разом із тим. Оскільки вибірбув довільним, то це означає, що для довільної послідовностііз умовивипливає умова, тобто щоза Гейне.

Еквівалентність означень границі функції за Гейне і за Коші дає можливість використовувати будь-яке із них залежно від того, яке є більш зручним для розв'язування тієї чи іншої задачі.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в папке Mat_analiz