1. Визначні границі

Перша визначна границя . Покажемо, що

.

Рис. 4

Розглянемо у крузі радіусагострий кут, хордуі дотичну до кола в точці(рис. 4). Для площ трикутниківта колового секторавиконуються нерівності

.

Отже,

.

Звідси

.

Розділивши ці нерівності на (, оскільки), одержимо. Із останніх нерівностей випливає

.

Помноживши всі частини на (–1) та додавши 1, матимемо

.

Оскільки , то.

Задамо довільне число > 0. Нерівність

або

справджується, як тільки , тобто. Таким чином, для довільного числаіснує числотаке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність

.

Із цього випливає, що 1 є правою границею функції , тобто. Оскільки функціяпарна, то і. Отже,.

Друга визначна границя.Доведемо, що

.

Раніше було встановлено, що . Нехай. Покладемо. Тоді, де. Оскільки, то. Отже,

. (6)

Якщо , то і. При цьому

Ураховуючи співвідношення (6), маємо

.

Нехай тепер . Покладемо. Тоді

Ураховуючи обидва випадки, одержуємо

.

2. Нескінченно малі й нескінченно великі функції

Нескінченно малі функції. Функція називається нескінченно малою в точці ( або при ), якщо .

Аналогічно означаються нескінченно малі функції при .

Виходячи з означень границі функції за Гейне і за Коші, можна навести наступні рівносильні означення нескінченно малої функції.

Функція називається нескінченно малою в точці , якщо для будь-якої збіжної до послідовностізначень аргументу, відмінних від, відповідна послідовність є нескінченно малою.

Функція називається нескінченно малою в точці , якщо для довільного числа існує числотаке, що нерівністьвиконується для всіх, які задовольняють умову.

Теорема . Число є границею функції у точці тоді і тільки тоді, коли , де – нескінченно мала функція в точці .

Доведення. Нехай . Покажемо, що різниця є нескінченно малою в точці . Дійсно,

.

Нехай тепер , де – нескінченно мала функція в точці . Тоді

.

Нескінченно малі функції мають такі ж властивості, як і нескінченно малі послідовності:

алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих у точці функцій є нескінченно малою в точці функцією;

добуток скінченного числа нескінченно малих у точці функцій, а також добуток нескінченно малої функції на обмежену функцію є нескінченно малою в точці функцією.

Викладене вище має місце також для нескінченно малих функцій функції при .

Нескінченно великі функції. Нехай функція визначена в деякому околі точки.

Функція називається нескінченно великою в точці , якщо для будь-якого числа існує числотаке, що для всіх, які задовольняють умову, виконується нерівність.

Означення нескінченно великої в точці функції можна дати мовою послідовностей.

Функція називається нескінченно великою в точці , якщо для будь-якої збіжної до послідовності,відповідна послідовність значень функції є нескінченно великою.

Символічно це записують так: і говорять, що функціяу точці має нескінченну границю.

Якщо при , то пишуть

.

Аналогічно означенням границі на нескінченності та скінченних односторонніх границь означаються нескінченні границі. При цьому використовуються відповідні записи, наприклад:

.

Теорема. Якщо нескінченно мала в точці функція, причому в околі точки ,то функція у точці− нескінченно велика. І навпаки, якщо функція − нескінченно велика в точці , то функціяу точці− нескінченно мала.

Дана теорема легко доводиться мовою послідовностей.