20.Координатний метод перетворення координат.

Фундаментом копютерної графіки є аналітична геометрія,в основі якої лежить координатний метод-завдання положення точок і об’єктів на площині або в просторі за допомогою системи координат.Найчастіше використовується прямокутна чи Декартова система координат.Положення деякого об’єкта може бути задано координатами деякої базової точки,що є центром його власної(локальної )системи координат,і кутом повороту цієї системи координат щодо глобальної системи координат,зв’язаної з екраном дисплея або листом папера в принтері.Перерахування координат точок з однієї в іншу систему наз.перетворення координат.

Існують 3 випадки перетворення координат:

1.Зсув-центр локальної системи координат зміщений в точку (Х0,Y0),кут повороту дорівнює нулю.Координати деякої точки А об’єкта в новій системі координат складуть:

Де х,y-координати точки А у системі координат об’єкта.

2.Поворот навколо центра координат локальної системи на кут α

3.Масштабування(стиск,розтягнення) з центром на початку координат-збільшення або зменшення об’єкта,обумовлене коефіцієнтами масштабування Кх і Кy

.Якщо Кх= Кy-обєкт масштабується пропорційно;у протилежному випадку відбувається деформація об’єкта.Послідовно застосовуючи масштабування,поворот і зсув координат,можна розташувати деякий об’єкт у довільному положенні.При цьому формули для перерахуваня координат матимуть вигляд:

Подібні перетворення координат в аналітичній геометрії називаються афінними.У загальному виді вони можуть бути записані у виді системи рівнянь:

21.Методи й алгоритми двовимірної графіки.Оперіції зсуву,повороту та масштабування.

Пряма лінія може бути задана двома векторами положення ,що визначають координати її двох точок.Розташування та напрямок лінії,що з’єднує дві точки ,може змінюватись залежно від розташування векторів.Поворот:Розглянемо трикутник АВС та за допомогою наступного перетворення повернемо його на 90* проти годинникової стрілки відносно початку координат:

Якщо використовувати матрицю розміром(3*2),яка складається з координат х таyу вершин трикутника,то можна записати:

Що є координатами результуючого трикутника А*В*С*

Масштабування:

Величина масштабування визначається значенням елементів вихідної діагональної матриці,Якщо матриця

Використовується як оператор впливу на вершини трикутника,то має місце «двократне» розширення або рівномірне масштабування відносно точки початку координат.Якщо значення елементів матриці перетворення неоднакові,то трикутник спотворюється.Трикутник АВС,перетворений за допомогою нашої матриці,переходить у пропорційно збільшений трикутник А*В*С*:

Зсув:

На рис зображена лінія,що з’єднує дві точки А та В з координатами А=(0 1) та В(2 3) відповідно

Розглянемо матрицю перетворення :

яка ,відповідно до сказаного,приводить до зсуву зображення.Перетворення Векторів А та В за допомогою матриці Т дає нове розташування Векторів А*та В*

Т.ч.,результуючі координати для точки А*-х*=3 та y*=1.Відповідно,координати точки В*-х*=11 та

y*=7.Результат перетворення відрізка :