3.5. Ранг матрицы
3.5.1. Понятие минора k-го порядка матрицы. Определение ранга матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу Аm×n . Пусть k – натуральное число, удовлетворяющее неравенству k ≤ min (m, n). Выберем в ма т-
рице А k строк с номерами i1, i2, …, ik, где 1≤ i1 < i2<…<ik ≤ m и k столбцов с номерами j1, j2 ,…, jk , где 1≤ j1 < j2 <…<jk ≤ n. Из эл е- ментов, стоящих на пересечении выбранных k строк и k столбцов, со-
i1,i2 , ,ik |
и |
||||
ставим определитель k-го порядка, который обозначим M j |
, j |
2 |
, , j |
k |
|
1 |
|
|
|
||
назовем его минором k-го порядка матрицы А. Можно показать, что из m×n матрицы Аm×n можно составить Сmk Cnk миноров k-го порядка.1
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
, то |
Например, если матрица А = 0 |
−1 |
|||
|
7 |
11 |
|
|
3 |
−1 |
|
М 1, 2 |
|
3 |
0 |
|
; М 1, 2, 3 |
|
|
2 3 |
0 |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||
= |
= −3 |
= |
|
1 |
2 |
−1 |
|
|||||
3, 4 |
|
2 |
−1 |
|
2, 3, 4 |
|
|
7 |
11 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Нетрудно проверить,что все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю. Таким образом, в матрице А существует минор
2-го порядка, отличный от нуля (например, М 13,, 24 ), а все миноры третьего порядка равны нулю.
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Из этого определения вытекает, что если ранг матрицы равен r, то среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор r-го порядка, отличный от нуля (его будем называть базисным минором), а все миноры порядка r +1 и выше равны нулю. Ранг матрицы А обо-
1 Cnk обозначено число сочетаний из n элементов по k элементов:
Ck = n(n −1) (n − k +1) . n 1 2 k
45
значается r(А). По определению, ранг нулевой матрицы О равен нулю; тогда ранг r(А) произвольной матрицы Аm´n удовлетворяет неравенству 0 ≤r(А) ≤ min (m, n) .
Поскольку вычислять ранг матрицы по определению достаточно трудоемко, то с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к такому виду, из которого ранг матрицы очевиден.
3.5.2. Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1.Транспонирование.
2.Перемена местами двух строк или двух столбцов.
3.Умножение всех элементов строки или столбца на число с, отличное от нуля.
4.Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов другой строки или столбца, умноженных на од-
но и то же число.
Теорема 3.5. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Отметим, что с помощью элементарных преобразований любую матрицу А можно привести к виду
1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
, |
(3.9) |
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где на главной диагонали стоят r единиц, а все остальные элементы матрицы равны нулю. Ясно, что ранг такой матрицы равен r, тогда по теореме 3.5. ранг матрицы А равен r.
46
Пример 3.7. Вычислить ранг матрицы А с помощью элементар-
1 |
2 |
3 |
0 |
|
1 |
2 |
|
ных преобразований, если А = 0 |
−1 . |
||
|
7 |
11 |
|
3 |
−1 |
Решение. Вычитая утроенную первую строку из третьей, а затем вторую строку из третьей, получим:
1 |
2 |
3 |
0 |
|
1 2 3 |
0 |
|
1 2 3 |
0 |
|
||||
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
|
, |
0 |
−1 |
0 |
−1 |
0 |
−1 |
|||||||||
|
|
11 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
3 7 |
−1 |
|
0 |
−1 |
|
0 |
−0 |
|
||||||
где знаком обозначено, что соединяемые им матрицы имеют один и тот же ранг.
Вычитая теперь из второго столбца удвоенный первый, а из третьего столбца – утроенный первый, получим
1 |
0 |
0 |
0 |
А 0 |
1 |
2 |
−1 . |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
Наконец, из третьего столбца вычтем удвоенный второй, а к четвертому столбцу прибавим второй, в результате чего матрица приве-
1 |
0 |
0 |
0 |
дется к виду (3.9): А 0 |
1 |
0 |
0 , откуда r(А)= 2. |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
Замечание. При вычислении ранга матрицы с помощью элеме н- тарных преобразований не обязательно получать вид (3.9), достаточно привести матрицу к трапециевидной форме, количество ненулевых строк в которой равно рангу матрицы.
47
3.5.3. Понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. Другое определение ранга матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу Аm×n . Поскольку каждую
строку такой матрицы можно считать n-мерным вектором, то матрице А соответствует система m векторов-строк n-мерного пространства:
a1 = (a11, a12 , , a1n ) , |
a2 = (a21, a22 , , a2n ) , |
…, am = (am1, am2 , , amn ) . |
Перенося определение линейной зависимости векторов на строки матрицы, будем называть строки ма трицы линейно зависимыми, если су-
ществуют такие действительные числа λ1,λ2 , ,λm , не все одновре-
менно равные нулю, что линейная комбинация строк матрицы с коэффициентами λ1,λ2 , ,λm обращается в нулевую строку, т.е. выполня-
ется равенство
λ1 |
|
1 +λ2 |
|
2 + +λm |
a |
m = |
0 |
(3.10) |
a |
a |
Если равенство (3.10) возможно лишь для тривиальной линейной комбинации, в которой λ1 = λ2 = = λm = 0 , то строки матрицы А
называются линейно независимыми.
1 |
2 |
3 |
0 |
|
|
1 |
2 |
|
линейно зависимы: |
Например, строки матрицы А = 0 |
−1 |
|||
|
7 |
11 |
|
|
3 |
−1 |
|
3а1 +а2 −а3 = 3(1,2,3,0) +(0,1,2,−1) −(3,7,11,−1) = (0,0,0,0) = 0 .
Как и в случае векторов, строки матрицы являются линейно зависимыми тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них линейно выражается через остальные.
Теорема 3.6. Если ранг матрицы равен r, то в этой матрице существует r линейно независимых строк, через которые линейно выражаются все остальные ее строки.
Следствие 1. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному количеству линейно независимых строк этой матрицы.
Следствие 2. Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.
Теперь можно сформулировать другое определение ранга матрицы: рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы.
48