Модулем (длиной) n-мерного вектора а =( а1, а2 , ..., аn ) называется

число а = (а, а) = а12 +а22 +...+аn2 .

Углом φ между n-мерными векторами а и b называется угол, косинус которого вычисляется по формуле:

АВ , т.е. d(A, B) = (АВ, АВ) = (y1 − x1)2 +(y2 − x2 )2 +...+(yn − xn )2 .

Справедливы следующие свойства скалярного произведения:

1.(a,b) = (b,a) (коммутативность);

2.(λa,b) = (a,λb) = λ(a,b) (вынесение числового множителя);

3.(a +b,c) = (a,b) +(b,c) (дистрибутивность);

4.(a,a) ≥ 0 , причем знак равенства выполняется лишь при условии a = 0 (неотрицательность скалярного квадрата вектра).

Линейное n-мерное векторное пространство, в котором введена операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая свой-

ствам 1– 4, называется евклидовым пространством.

2.Системы векторов

2.1.Линейная зависимость векторов. Системы векторов.

21

Система векторов a1, a2 , ... , am называется линейно зависимой, если существуют такие числа λ1,λ2 ,..., λm , не все одновременно равны нулю, что линейная комбинация λ1a1 +λ2a2 +...+λmam обращается в нулевой вектор, т.е.

Справедливы следующие свойства линейной зависимости:

а) если среди векторов системы есть нулевой вектор, то система линейно зависима;

б) если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима;

в) любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой;

г) для того, чтобы система век торов a1, a2 , ..., am была линейно

зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов линейно выражался через остальные;

д) диагональная система векторов линейно независима;

е) диагональная система единичных векторов n-мерного пространства линейно независима;

ж) любой вектор n- мерного пространства является комбинацией единичных векторов этого пространства.

Например, в R3 a(x, y, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0,1).

22

2.2.Ранг и базис системы векторов. Разложение вектора по базису

Максимальная линейно независимая подсистема системы векторов называется ее базисом. Система векторов может иметь несколько базисов, но все они содержат одинаковое количество векторов, которое называется рангом данной системы векторов. Если система векторов n-мерного пространства содержит более чем n векторов, то она обязательно будет линейно зависимой.

Базисом n-мерного пространства Rn называется любая совокуп-

ность n линейно независимых векторов этого пространства. Любой вектор n-мерного пространства х Rn можно единственным образом

называются эквивалентными, если любой вектор системы (2.2) линейно выражается через (2.3) и наоборот.

Можно доказать, что ранги эквивалентных систем равны. Преобразования системы векторов, не изменяющие ее ранг, называются эквивалентными. Такими преобразованиями являются:

1)изменение нумерации векторов;

2)удаление нулевого вектора;

3)удаление линейной комбинации векторов;

4)умножение любого вектора системы на число, отличное от нуля;

5)прибавление к одному из векторов системы линейной комбинации остальных векторов системы.

23

Ортогональной системой векторов n-мерного евклидова пространства называется такая система из n векторов, в которой каждый

из векторов ортогонален другому; т.е. система a1, a2 , ... , an называется ортогональной, если (ai , aj ) = 0 при i ≠ j .

Доказано, что любая ортогональная система векторов евклидова пространства является его базисом. Если, помимо ортогональности,

каждый из векторов системы является единичным, т.е. (еi , еi ) =1, то

такой базис называется ортонормированным. Такой базис является наиболее удобным для решения задач аналитической геометрии.

3. Матрицы и определители

3.1. Матрицы. Основные определения

Матрицей размера m×n называется совокупность mn действительных чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов:

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Матрицы обозначают заглавными латинскими буквами: А, В, С, …, а

их элементы – строчными буквами: аij ,bij ,cij , , aij − элемент, сто-

ящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца. Кроме квадратных скобок, в обозначении матриц употребляют круглые скобки, двойные

a1 j , a2 j , , amj − j -й столбец матрицы A m×n .

24

Матрица, состоящая из одной строки и n столбцов, называется

матрицей – строкой или строчной матрицей, а матрица, содержа-

щая один столбец и m строк, называется матрицей – столбцом или

столбцевой матрицей.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы одной матрицы равны соответствующим элемен-

там другой матрицы: A m×n= В e ×k , если m = l, n = k и aij = bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n).

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( m = n)

называется квадратной матрицей, а число m = n – ее порядком.

В этом случае вводятся понятия главной и побочной диагоналей.

Главную диагональ a11, a22 , , ann образуют элементы диагонали,

идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол квадратной матрицы; побочную диагональ образуют элементы an1, a(n−1)2 , , a1n

диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний угол той же матрицы.

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю. Ее обозначают буквой О или Оm×n .

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие не на главной диагонали, равны нулю. Например, матрица

является диагональной матрицей третьего порядка.

Диагональная матрица вида diag(1;1;…,1) называется единичной и обозначается буквой Е или Еn:

25