- •Введение
- •Общие рекомендации студенту по самостоятельной работе над математическими курсами
- •1.2. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами. n-мерное арифметическое пространство
- •2. Системы векторов
- •2.1. Линейная зависимость векторов. Системы векторов.
- •2.3. Эквивалентные системы векторов
- •3.1. Матрицы. Основные определения
- •3.2. Операции над матрицами и их свойства
- •3.3. Определитель матрицы.
- •3.3.1. Определители второго порядка
- •3.3.2. Определители n-го порядка
- •3.3.3. Определители третьего порядка
- •3.3.4. Свойства определителей
- •3.4. Обратная матрица, ее свойства и вычисление
- •3.4.1. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы
- •3.4.2. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк.
- •3.5. Ранг матрицы
- •3.5.1. Понятие минора k-го порядка матрицы. Определение ранга матрицы
- •3.5.2. Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •3.5.3. Понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. Другое определение ранга матрицы
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия
- •5. Геометрия пространства Rn
- •5.1. Прямые в R2
- •5.1.1. Уравнение линии на плоскости R2
- •5.1.2. Общее уравнение прямой
- •5.1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •5.1.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •в заданном направлении. Уравнение пучка прямых
- •5.1.6. Уравнение прямой в отрезках
- •5.1.7. Нормальное уравнение прямой
- •5.1.8. Расстояние от точки до прямой
- •5.1.9. Угол между прямыми. Условия параллельности
- •и перпендикулярности двух прямых
- •5.1.10. Точка пересечения двух прямых
- •5.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •5.2.1. Канонические уравнения прямой
- •5.2.3. Векторное и параметрические уравнения прямой
- •5.2.4. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых
- •5.2.5. Общее уравнение плоскости
- •5.2.6. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.2.8. Нормальное уравнение плоскости
- •5.2.9. Расстояние от точки до плоскости
- •5.2.10. Взаимное расположение двух плоскостей
- •5.2.11. Общие уравнения прямой
- •5.2.12. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •5.3. Гиперплоскость в пространстве Rn
- •5.4. Выпуклые множества
- •6. Теория пределов последовательностей
- •6.1. Числовые последовательности
- •6.1.3. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •6.2. Сходящиеся последовательности
- •6.2.1. Определение предела последовательности.
- •6.2.2. Свойства сходящихся последовательностей.
- •7. Предел и непрерывность функции
- •7.1. Понятие функции одной переменной.
- •7.1.1. Определение функции. Элементарные функции.
- •7.1.2. Свойства функции одной независимой переменной.
- •7.1.3. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике.
- •7.2. Предел функции
- •7.2.1. Понятие предела функции в точке.
- •7.2.2. Теоремы о пределах функций.
- •7.2.3. Замечательные пределы.
- •7.2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7.2.5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •7.2.6. Раскрытие неопределенностей.
- •7.3. Непрерывность функции
- •7.3.1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •7.3.2. Арифметические действия над непрерывными функциями.
- •7.3.3. Непрерывность сложной и обратной функции.
- •7.3.4. Точки разрыва функции и их классификация.
- •7.3.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •8.1. Производная
- •8.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.
- •8.1.3. Физический смысл производной.
- •8.1.4. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •8.1.5. Основные правила дифференцирования.
- •8.1.6. Таблица производных основных элементарных функций.
- •8.1.7. Производная степенно-показательной функции.
- •8.1.8. Примеры вычисления производных.
- •8.1.9. Производная неявной функции.
- •8.2. Дифференциал
- •8.2.1. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.
- •8.2.2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •8.2.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •8.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •8.2.5. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •8.3. Исследование функций с помощью производных
- •8.3.1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций.
- •8.3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •8.3.4. Выпуклость и вогнутость графика функции.
- •8.3.5. Асимптоты графика функции.
- •1. Многомерное арифметическое пространство
- •Тренировочное задание 1
- •Решение тренировочного задания 1
- •2. Системы векторов
- •Тренировочное задание 2
- •Решение тренировочного задания 2
- •3. Матрицы и определители
- •3.1. Матрицы и операции над ними
- •Тренировочное задание 3.1
- •Решение тренировочного задания 3.1
- •3.2. Определители и их свойства
- •Тренировочное задание 3.2
- •Решение тренировочного задания 3.2
- •4. Системы линейных уравнений
- •Тренировочное задание 4
- •Решение тренировочного задания 4
- •5. Аналитическая геометрия
- •5.1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение тренировочного задания 5.1
- •5.2. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Тренировочное задание 5.2
- •Решение тренировочного задания 5.2
- •6. Сходимость числовых последовательностей.
- •Тренировочное задание № 6.
- •Решение тренировочного задания № 6.
- •7. Предел и непрерывность функции.
- •Тренировочное задание № 7.
- •Решение тренировочного задания № 7.
- •8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •Тренировочное задание № 8
- •Решение тренировочного задания № 8.
|
7.2.5. Сравнение бесконечно малых функций. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть |
α =α(x) и |
|
β = β(x) |
|
|
бесконечно малые |
функции при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x → x0 |
и пусть существует предел отношения lim |
α(x) |
= k . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→x |
β(x) |
|
|
||
Определение |
7.7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Если k =1, |
то |
|
α(x) и β(x) называются |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
эквивалентными бесконечно малыми |
и пишут α(x) ~ β(x) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если 0< |
|
k |
|
< ∞, то α(x) |
и β(x) называются бесконечно малыми |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
одного порядка и пишут |
|
α(x) = O(β(x)) |
или β(x) = O(α(x)) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если k = 0 , |
то α(x) называется бесконечно малой более высокого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка и пишется α(x) =о( β(x) ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
если k = ∞ , |
то α(x) называется бесконечно малой более низкого |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка чем β(x) (соответственно β(x) |
|
― бесконечная малая более |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
высокого порядка, чем α(x) |
и пишется |
β(x) =о(α(x) ); |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
если |
|
|
|
|
|
|
α(x) |
не |
существует, |
то |
α(x) |
и |
β(x) |
называются |
||||||||||||||||||||||||||
xlim→x β |
(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
несравнимыми бесконечно малыми. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Пример 7.4. |
|
Сравнить |
бесконечно |
|
малые |
|
α(x) |
|
и β(x) при |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x → x0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) α(x) = |
3 |
|
, β(x) = |
1 |
|
, x = ∞; б) α(x) = 3 |
|
, β(x) = x |
, x = 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в) α(x) = x , β(x) = sin 3x , |
x0 = 0 ; |
|
г) |
α(x) = x , |
β(x) = sin x , x0 = 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
д) α(x) = x sin 1 , |
β(x) = x , x = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
а) |
lim α(x) |
= lim |
|
3 x |
|
= lim |
|
3 = 0, α(x) = o (β(x)); |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→∞ |
|
β(x) |
|
x→∞ |
x |
1 |
x→∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
α(x) |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
б) |
lim |
= lim |
|
x |
= |
|
lim |
|
= ∞, β(x) = o (α(x)); |
|||||||||||||||||||||||||||||||
β(x) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
в) |
lim |
α(x) |
= lim |
|
|
|
|
x |
|
= lim |
|
3x |
|
|
|
1 = |
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
β(x) |
|
sin 3x |
|
sin 3x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
x→0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
1 |
α(x) = O( β(x)); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
xlim→0 |
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93
г) lim |
α(x) |
= lim |
x |
|
=1 α(x) ~ β(x) |
||||
β(x) |
sin x |
||||||||
x→0 |
|
x→0 |
|
|
|||||
|
|
xsin |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
д) lim |
x |
= lim sin |
. Данный предел не существует, значит |
||||||
x |
|
x |
|||||||
x→0 |
|
|
x→0 |
|
α(x) и β(x) – несравнимые бесконечно малые.
7.2.6. Раскрытие неопределенностей.
Часто встречаются арифметические предельные выражения, для вычисления которых уже недостаточно знания пределов каждой функции по отдельности, а нужно учитывать и закон их совместного изменения. Это так называемые «неопределенные выражения».
Если α(x) и β(x) |
|
бесконечно малые функции при x → x0 , то |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||
выражение α(x) |
при x → x |
называется неопределенностью |
типа 0 ; |
||||||||||||
β(x) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
если α(x) и β(x) |
|
|
бесконечно большие функции при |
x → x0 , то |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
выражение α(x) |
при |
x → x |
|
называется неопределенностью типа |
|||||||||||
β(x) |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ , а выражение α(x) −β(x) |
|
|
неопределенностью типа |
∞−∞. |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если α(x) |
|
бесконечно малая, |
а β(x) |
|
бесконечно большая |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
функции при x → x0 , |
то |
α(x) · β(x) |
называется неопределенностью |
||||||||||||
типа 0 ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1∞, |
∞0 , 00 . |
|
Аналогично |
определяются неопределенности |
Раскрыть неопределенность означает найти предел, если он существует, соответствующего выражения, а это зависит от поведения функций, входящих в выражение.
Пример 7.5. Найти lim 2x2 +7x −9 , если а) c = 2; б) c =1; в)c = ∞.
x→c x2 + x −2
Решение. а) Применяя теорему о пределе частного, получим:
94
|
|
|
2x |
2 |
+7x |
−9 |
|
lim(2x2 |
+7x −9) |
|
2 |
2 |
2 |
+7 2 −9 |
|
13 |
|
|||||
|
lim |
|
= |
x→2 |
|
|
= |
|
= |
; |
||||||||||||
|
|
x |
2 |
+ x −2 |
lim(x |
2 |
+ x −2) |
|
2 |
2 |
+ 2 −2 |
|
4 |
|||||||||
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
lim |
2x2 +7x − |
9 |
. Здесь нельзя применить теорему о пределе |
||||||||||||||||||
|
x |
2 |
+ x −2 |
|
||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
частного, так как предел знаменателя и |
числителя |
равен |
нулю. |
|||||||||||||||||||
Значит, |
имеем |
|
|
неопределенность |
типа |
0 . |
|
Для раскрытия |
этой |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители,
используя формулу ax2 +bx +c = a(x − x )(x − x ). |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+7x − |
|
|
2(x |
−1)(x + 9) |
|
|
||||||
Тогда lim |
2x2 |
9 = lim |
|
2 |
|
= |
|
|
||||||||||
+ x −2 |
(x −1)(x +2) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x→1 |
x |
x→1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2(x + |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
=lim |
2) |
|
= lim |
2x +9 |
= 2 1+9 |
= 11 |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x +2 |
|
||||||||||
|
|
x→1 |
(x + 2) |
|
|
x→1 |
1+2 |
3 |
|
|
||||||||
в) |
lim |
2x2 + |
7x − |
9 |
. |
В этом случае и числитель, и знаменатель при |
||||||||||||
x |
2 |
+ x |
−2 |
|
||||||||||||||
x → ∞ |
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
стремятся |
к |
|
бесконечности, т.е. |
|
являются |
бесконечно |
||||||||||||
большими функциями. |
|
|
Имеем неопределенность типа |
∞ . Для ее |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на x2 , получим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
2 + |
7 |
− |
9 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim |
2x2 +7x − |
= lim |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x→∞ |
x |
+ x −2 |
|
x→∞ 1+ |
− |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
||||||||||
|
7 |
|
9 |
|
1 , |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Так как |
, |
, |
|
|
являются бесконечно малыми при x → ∞, |
|||||||||||||
x |
x2 |
|
x2 |
|||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то числитель стремится к 2, а знаменатель ― к 1, и поэтому искомый предел равен 12 =2.
Пример 7.6. Найти lim sin 3x . x→0 tg5x
95
Решение. Так как lim sin 3x = sin 0 = 0 и |
lim tg5x = tg 0 = 0 , то |
x→0 |
x→0 |
здесь мы имеем неопределенность типа 00 . Преобразуем функцию
sin 3x |
так, чтобы использовать первый замечательный предел |
tg5x |
|
lim sinα |
=1. |
В итоге получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
α→0 |
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
3 |
|||
|
|
lim sin 3x |
= lim sin 3x |
cos5x = |
|
|
|
|
3x |
|||||||||||||
|
|
lim |
|
cos5x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x→0 |
tg5x |
|
|
x→0 sin 5x |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
sin 5x |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|||
|
|
|
|
|
|
3 lim |
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 1 |
= 3 . |
||||
|
|
|
= |
|
x→0 |
|
|
lim cos5x |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
sin 5x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 lim |
|
x→0 |
|
|
|
|
|
5 1 |
5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x + 2 |
5x+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пример 7.7. Найти lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
Решение. |
Так |
|
как lim |
x +2 |
|
= lim |
+ x |
|
=1, lim (5x +2) |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
x→∞ |
|
|
1 |
|
|
x→∞ |
=
= ∞, то
имеем дело с неопределенностью типа 1∞ . Поэтому преобразуем данное выражение так, чтобы использовать второй замечательный
|
+ |
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
предел lim 1 |
x |
|
= e : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +2 5x+2 |
|
|
2 5x+2 |
|||||
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
= |
|
|
|
|
|
x |
|
||||||||
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5x+2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
lim10x+4 |
|
|||
|
|
|
|
|
2)2 |
= e10 |
|||||||
|
|
|
lim (1 |
+ |
|
= e x→∞ |
|
x |
|||||
|
|
|
x→∞ |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x −1 −1.
Пример 7.8. Найти limx 3x −3
→1
Решение. Так как
96