УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УО «Белорусский государственный экономический университет»

Н.В. Шамукова, Л.В. Станишевская, Р.С. Варданян

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

В двух частях

Часть 1

Учебно-методическое пособие

Под редакцией кандидата физико-математических наук Н.В. Шамуковой

Минск 2009

УДК 51.

ББК 22.1 Ш19

Ре ц е н з е н т кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики БГЭУ А.В. Конюх

Ре к о м е н д о в а н о кафедрой информатики, статистики и высшей математики Бобруйского филиала БГЭУ

У т в е р ж д е н о Редакционно-издательским советом БГЭУ

Шамукова, Н.В.

Ш19 Высшая математика. Часть 1: учеб.-метод. пособие / Н.В. Шамукова, Л.В. Станишевская, Р.С. Варданян; под ред. Н.В. Шамуковой. – Минск :

БГЭУ, 2009. – 94 с.

Пособие предназначено для использования студентами 1 курса в качестве дополнительной литературы при изучении в первом семестре дисциплины «Высшая математика».

В издание включены теоретический материал и задачи по основным разделам курса: элементы линейной и векторной алгебры, основы аналитической геометрии. Ряд задач снабжен решениями.

УДК 51.

ББК 22.1

© Шамукова Н.В., Станишевская Л.В., Варданян Р.С., 2009

© УО «Белорусский государственный экономический университет», 2009

2

1.2. Определители ………………………………………………….. 14 1.2.1. Определители квадратной матрицы и их свойства …... 14

1.2.2.Теоремы Лапласа и аннулирования …………………… 17

1.3.Обратная матрица ……………………………………………… 20

1.3.1.Понятие обратной матрицы. Существование и единственность обратной матрицы. Свойства обратной матрицы ………………………………………………… 20

1.3.2.Алгоритм нахождения обратной матрицы ……………. 21

1.4.Задачи и упражнения …………………………………………. 23

1.4.1.Матрицы и действия над ними ……………………….. 23

1.4.2.Определители ………………………………………….. 26

1.4.3.Обратная матрица ……………………………………… 27

1.5.Системы линейных алгебраических уравнений …………….. 30

1.5.1.Понятие системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Решение системы ЛАУ матричным спо-

собом ……………………………………………………. 30

1.5.2.Формулы Крамера ……………………………………… 32

1.5.3.Совместность систем ЛАУ. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли ……………………………………. 34

1.5.4.Метод Гаусса …………………………………………… 43

1.6.Задачи и упражнения ………………………………………….. 49

Тема 2. Элементы векторной алгебры …………………………………….. 52

2.1.Векторы на плоскости и в пространстве. Скалярное произ-

ведение векторов ………………………………………………. 52

2.1.1.Задачи для самостоятельного решения ……………….. 58

2.2.Векторное и смешанное произведение векторов ……………. 59

2.2.1.Задачи для самостоятельного решения ………………. 63

2.3.Векторное пространство. Базис и ранг системы векторов ….. 64

2.4.Собственные числа и собственные векторы матрицы ………. 67

Тема 3. Основы аналитической геометрии ………………………………. 70

3.1.Уравнения прямой на плоскости ……………………………... 70

3.1.1.Задачи для самостоятельного решения ……………….. 72

3.2.Взаимное расположение двух прямых на плоскости ……….. 73

3.2.1.Задачи для самостоятельного решения ………………. 74

3.3.Уравнение плоскости в пространстве ………………………... 75

3.3.1.Задачи для самостоятельного решения ………………. 76

3

3.4.Взаимное расположение двух плоскостей …………………… 77

3.4.1.Задачи для самостоятельного решения ……………….. 78

3.5.Уравнение прямой в пространстве …………………………… 78

3.5.1.Задачи для самостоятельного решения ……………….. 82

3.6.Взаимное расположение двух прямых в пространстве ……….. 83

3.6.1.Задачи для самостоятельного решения ………………. 84

3.7.Взаимное расположение прямой и плоскости ………………. 85

3.7.1.Задачи для самостоятельного решения ………………. 86

3.8.Кривые второго порядка ………………………………………. 87

3.8.1.Задачи для самостоятельного решения ……………….. 92

Литература …………………………………………………………………..... 94

4

Тема 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Матрицы. Действия над матрицами

1.1.1. Понятие матрицы. Виды матриц

Прямоугольную таблицу действительных чисел вида

состоящую из m строк и n столбцов, будем называть числовой матрицей разме-

Рассмотрим основные виды матриц:

1.Если m = n, то матрица А называется квадратной матрицей n-го порядка

иимеет вид

Элементы a11,a22,...,ann называются диагональными и образуют главную диагональ, элементы a1n,a2n 1,...,an1 образуют побочную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все недиагональные элементы равны нулю,

называется диагональной:

Диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой Е, если все элементы главной диагонали равны 1.

6

называются верхней и нижней треугольными соответственно.

2. Если m = 1, то матрица А называется матрицей-строкой и имеет вид

5. Квадратная матрица А называется симметричной, если aij = a ji .

ной?

Р е ш е н и е. Матрица А – симметричная, так как a12 = a21 = –3.

7

1.2. Алгебра матриц

Введем действия (операции) над матрицами, но вначале дадим несколько новых понятий. Две матрицы А и В называются матрицами одного размера, если они имеют одинаковое количество строк и столбцов.

Например: A2 3 и B2 3 – матрицы одного размера 2 3; A2 3 и B3 2 –

матрицы разных размеров, так как у них разное количество строк и столбцов. Матрицы А и В называются равными, если они одного размера m n

и aij = bij , где i 1, 2, 3, …, m, а j = 1, 2, 3, …, n. Если матрицы А и В равны, то пишут А = В.

I. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица B A , элементы которой bij = aij , где i 1, 2, 3, …, m;

j = 1, 2, 3, …, n:

Из определения операции умножения матрицы на число следует, что общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

II. Сумма (разность) матриц. Сумма (разность) определяется только для матриц одного размера m n. Суммой (разностью) двух матриц Am n и Bm n

называется матрица Cm n , элементы которой cij = aij + bij ( cij = aij – bij ),

где i 1, 2, 3, …, m; j = 1, 2, 3, …, n.

Иными словами, матрица С состоит из элементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.

П р и м е р 1.3.

8

Р е ш е н и е

читания данных матриц не определены, так как матрицы имеют разный размер. Из определения операций сложения и умножения матрицы на число сле-

дуют следующие свойства:

1)А + В = В + А;

2)(А + В) + С = А + (В + С);

3)λ(А + В) = λА + λВ; λ R;

4)(λμ)А = λ(μА) = μ(λА); λ,μ R;

5)(α + β)А = αА + βА; α, β R;

6)О + А = А, где О – нулевая матрица;

7)А + (–А) = О, где (–А) = (–1)∙А – матрица, противоположная матрице А;

8)λА = Аλ; λ R.

III. Произведение матриц. Операция произведения определяется лишь для согласованных матриц. Матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

называется такая матрица Cm k = Am n ∙ Bn k , элементы которой вычисляют-

ся по формуле: cij ai1 b1 j ai2 b2 j ... ain bnj ( i 1, 2, 3, …, m ; j =1, 2, 3, …, k), т. е. элемент cij равен сумме произведений элементов i -ой

строки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.

П р и м е р 1.4. Найти произведение матриц А и В.

9

Р е ш е н и е

Произведение матриц ВА не существует, так как матрицы В и А несогласованные.

Рассмотрим свойства произведения матриц:

1) некоммутативность: если оба произведения АВ и ВА существуют и являются матрицами одного размера (что возможно только при умножении квадратных матриц А и В одного размера), закон коммутативности для произведения матриц, вообще говоря, не выполняется, т.е. АВ ≠ ВА. Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (перестановочными).

2) произведение любой квадратной матрицы А n-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка обладает коммутативным законом и равно А: АЕ = = ЕА = А.

3) AО = ОA = О, О – нулевая матрица.

10