УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Пусть в системе (1.7) m = n и det A ≠ 0 (матрица невырожденная). Следовательно, существует обратная матрица A 1 . Умножим обе части равенства (1.8)

слева на A 1 : A 1 ∙ АХ = A 1 В или ЕХ = A 1 ∙В, отсюда

Формула (1.9) является матричной записью решения системы линейных алгебраических уравнений. Так как обратная матрица A 1 единственная, то система (1.7) (или, что, то же самое, система (1.8)) имеет единственное решение.

Р е ш е н и е

5.

Так как det A = 5 ≠ 0, то существует обратная матрица A 1 , и, следовательно, исходная система имеет единственное решение Х = A 1 ∙В.

3. Найдем обратную матрицу A 1. Составим матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

31

1.5.2. Формулы Крамера

Рассмотрим еще один метод решения системы (1.7). Пусть, как и ранее, n = m.

Тогда из формулы (1.9) имеем Х = A 1 В

32

В формулах (1.10) = det A называется определителем системы (1.7) или главным определителем системы.

т.е. j – определитель матрицы, которая получается из матрицы А заменой j-го

столбца столбцом свободных членов (побочный определитель системы). Формулы (1.10) называются формулами Крамера.

Алгоритм решения систем ЛАУ с помощью формул Крамера

1.Вычисляем главный определитель системы = det A.

2.Вычисляем побочные определители j , j 1, 2,..., n .

3.а) Если 0 , то по формулам (1.10) находим единственное решение

системы (1.7): x1 1 , x2 2 , …., xn n .

б) Если = 0, а хотя бы один из побочных определителей j 0 , то исходная система (1.7) несовместна, т.е. не имеет решений.

ческих уравнений с помощью формул Крамера.

Р е ш е н и е

Следовательно, система имеет единственное решение.

33

Естественно, что получен такой же ответ, как и при решении системы уравнений матричным способом (см. выше).

1.5.3. Совместность систем ЛАУ. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли

Для решения ряда прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Рангом r(A) матрицы А называется максимальный порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Минором k-го порядка матрицы А называется определитель k-го порядка, образованный из элементов матрицы А, находящихся на пересечении выделенных k строк и k столбцов матрицы А.

Базисным минором матрицы называется всякий отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу данной матрицы.

Р е ш е н и е.

Матрица А имеет размер 3 × 4, следовательно, ранг матрицы 0 r(A) 3.

34

Для определения ранга вначале найдем все миноры третьего порядка: если хотя бы один из них отличен от нуля, то ранг матрицы А равен трем. Всего имеем четыре минора третьего порядка:

Так как достаточно найти среди них хотя бы один отличный от нуля, то выберем тот минор, который содержит большее количество нулевых элементов:

Данный минор будет являться базисным для исходной матрицы. Замечание. Базисный минор определяется неоднозначно. Так, если ос-

тальные миноры будут отличны от нуля, то они так же будут базисными.

Если бы все приведенные в примере миноры третьего порядка оказались равными нулю, то это привело бы к рассмотрению миноров второго порядка. Естественно, в этом случае ранг матрицы был бы ниже трех.

Вычисление ранга матрицы таким методом достаточно трудоемко. Поэтому матрицу с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной матрице, имеющей ступенчатый вид.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

где aii 0,i 1,2,3, ...,k ; k n . Очевидно, что ранг такой матрицы равен k.

Матрицы А и В называются эквивалентными (А~В), если одна из них полу-

чается из другой с помощью элементарных преобразований. К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)перестановка местами любых двух строк (столбцов) матрицы;

2)умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на одно и то же число 0 ;

3)прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;

4)отбрасывание нулевой строки (столбца);

5)транспонирование матрицы.

35

Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда А – нулевая матрица. Если хотя бы один элемент матрицы А не равен нулю, то ранг матрицы больше нуля. Таким образом, ранг является еще одной важной характеристикой матрицы.

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица Am n .

Обозначим строки матрицы через A1 , A2 , …, Am :

A1 = a11 a12 ... a1n , A2 = a21 a22 ... a2n , …, Am = am1 am2 ... amn .

Пусть Ai = ai1 ai 2 ... ain , R , Ai Aj = ai1 a j1 ai 2 a j 2 ... ain a jn .

Тогда сумма 1 A1 + 2 A2 +…+ m Am , i R, i 1, ...,m, будет называться ли-

нейной комбинацией строк Ai ( i 1, ...,m ) матрицы А.

36

…, Am называются линейно зависимыми, если существуют числа 1 , 2 , ..., m , не все одновременно равные нулю, что 1 A1 + 2 A2 + … + m Am = О, где О = = (0 0…0). Если данное равенство выполняется лишь когда все числа i = 0, i 1, ...,m , то говорят, что строки A1 , A2 , …, Am линейно независимы. Заметим,

что, если строки линейно зависимы, то, по крайней мере, одна из них выражается через остальные. Если же строки линейно независимы, то ни одна строка не выражается через остальные. Аналогично вводится понятие линейной зависимости и независимости столбцов.

Имеют место следующие утверждения:

1)если ранг матрицы А равен k, то существует ровно k линейнонезависимых строк (столбцов), от которых линейно зависят все остальные строки (столбцы), т. е. все остальные строки выражаются через эти k линейнонезависимых строк;

2)максимальное число линейно-независимых строк матрицы совпадает с максимальным числом линейно-независимых столбцов и равно рангу матрицы.

Пусть дана система (1.7) m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными.

Дополним матрицу А системы (1.7) столбцом свободных членов.

В итоге будем иметь так называемую расширенную матрицу системы (1.7):

Обозначим через r(A) и r(AВ) ранги матриц А и AВ соответственно. Сформулируем теорему Кронекера-Капелли, которая определяет условия, при которых система (1.7) имеет или не имеет решения.

Теорема Кронекера-Капелли. Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной (т. е. имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг исходной матрицы системы совпадал с рангом расши-

ренной матрицы, т. е. r (A) = r (AВ). Справедливы следующие утверждения:

1)если r(A) = r(AВ) = n, где n – число неизвестных системы, то данная система имеет единственное решение;

2)если r(A) = r(AВ) = k < n, то система имеет бесконечное множество ре-

шений;

3)если r(A) ≠ r (AВ), то система несовместна, т. е. не имеет решений.

37

Если число неизвестных больше числа уравнений, то система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество (если r(A) = r(AВ) = k < n.)

П р и м е р 1.28. Исследовать систему уравнений на совместность

Р е ш е н и е

Составим расширенную матрицу данной системы и найдем r( A) и r( AB ) с помощью ее элементарных преобразований: