УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ложим определитель по элементам первого столбца) =3 1

= 3 4 7 11 0 3 28 84.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Замечание. Произведение двух матриц может равняться нулевой матрице, при этом матрицы А и В могут быть ненулевыми.

		1	3				3	3
	A2 2 =			, B2	2 =
П р и м е р 1.8. Пусть	A2 2 =	2	6	, B2	2 =	1		1	.

Тогда A		B		1 3 3( 1)		1( 3) 3 1	0	0	=O	.
Тогда A		B		=			=		=O	.
2	2	2	2		2 3 6( 1)	2( 3) 6 1	0	0	2 2

4) ассоциативность АВС = А(ВС) = (АВ)С:

Am n ( Bn k Ck l ) Dm l , ( Am nBn k )Ck l Dm l.

									3															1		1
П р и м е р 1.9. Пусть A									3			B	2		1		0 ,		C						0	2	.
П р и м е р 1.9. Пусть A										,		B	2		1		0 ,		C						0	2	.

				2		1		1				1 3								3 2
				2		1						1 3								3 2
																								2		3
																		1		1
Тогда А (В С) = A				( B			C		)			3	2		1		0		0			2
Тогда А (В С) = A				( B			C		)				2		1		0		0			2
			2	1	1	3	3 2
												1							2			3
																			2			3
		3						2( 1)				( 1)2			0 3				3		2		4
		2 1 ( 1)0 0 2						2( 1)				( 1)2			0 3						2		4
		1																	1
		3 2	3( 4)				6			12
												D		2	;
	( 1)2		( 1)( 4)				2				4		2	2
	( 1)2		( 1)( 4)				2				4
										3			1 0			1		1
(АВ)С = ( A B )C										3		2	1 0			0			2
			2 1	1 3	3	2
										1					2				3
															2				3
		3 2	3( 1)				3 0			1		1		6 3 0								1	1
		3 2	3( 1)				3 0							6 3 0
=										0		2 =		2								0		2		=
( 1)2			( 1)( 1)		( 1)0					2		3		2			1	0				2		3

=	6 1 ( 3)0 0 2			6( 1) ( 3)2 0 3		6	12	D	.
					=
		( 2)1 1 0	0 3			2	4	2 2
				( 2)( 1) 1 2 0 3

Таким образом, мы показали, что А(ВС) = (АВ)С.

5)(А+В)С = АС + ВС, А(В + С) = АВ + АС.

6)λ(АВ) = (λА)В = А(λВ), λ R.

IV. Транспонирование матрицы.

Транспонирование матрицы – это переход от матрицы А к матрице АT (иногда транспонированную матрицу обозначают A ), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка.

Матрица А T называется транспонированной для матрицы А.

	2 4					2 1
				T		2 1	1
П р и м е р 1.10. Пусть A = 1		0	, тогда	A 2 3
П р и м е р 1.10. Пусть A = 1		0	, тогда	A 2 3	=	4 0	3	.
3 2	1	3				4 0	3
3 2

Заметим, если матрица А имеет размер m n, то транспонированная матрица имеет размер n m.

Свойства операции транспонирования:

1) AT T A ;

2)A B T AT BT ;

3)A T AT , R ;

4)AB T BT AT .

Замечание. Если AT A, то А – симметричная то А – кососимметричная матрица.

			1		2			1
П р и м е р 1.11. Пусть	A					, B
		2	=	3	0		3	=	0
	2					2

матрица; если AT A,

1 2

1 3

	1		3				1	0
Тогда AT	1		3	, BT			1
Тогда AT				, BT	3 2	=	1	1	;
2 2		2	0		3 2
		2	0				2
							2	3

АВ= A			( 1) 1 2 0		( 1) ( 1) 2 1 ( 1) 2 2 3
	∙ B =C			3 1 0 0	3 ( 1) 0 1	=
2 2	2 3	2 3				3 2 0 3

1	3	4					1			3
1	3	4	, следовательно (А∙В) T = CT
=	3	6	, следовательно (А∙В) T = CT		3 2 =			3		3 .
3	3	6						4
								4		6
			1 ( 1) 0 2	1 3 0 0		1			3
В T ∙А T = BT 3 2 ∙ AT 2 2										=CT 3 2 .
В T ∙А T = BT 3 2 ∙ AT 2 2		=	( 1) ( 1) 1 2	( 1) 3 1 0		=	3	3		=CT 3 2 .
			2 ( 1) 3 2
			2 ( 1) 3 2	2 3 3 0			4		6
Таким образом, (А∙В) T = В T А T .
V. Возведение в степень. Пусть А произвольная квадратная матрица по-
рядка n, тогда Ak A A		A . По определению полагают A0					E ,		A1 A. Можно

k раз

показать, что An Am An m , A n m An m .

Рассмотрим примеры на выполнение действий над матрицами (т.е. нахождение суммы, разности, произведения (если они существуют) двух матриц

А и В).

		1 2	4 0			2		1	0 1
		1 0
П р и м е р 1.12. Пусть A	4	1 0	4 1	, B	4		2	0	0 2	.
3	4			3	4
		4 1	2 3					3 2 0
		4 1	2 3			1		3 2 0

Р е ш е н и е

					1 2 2 ( 1) 4 0 0 1			3 1 4 1
					1 2 0 0
1) A	+ B	= C =			1 2 0 0	4 0 1 2	= 1 0 4 3			;
3 4	3 4		3 4		4 1 1 3	2 2 3 0		5 4 4 3
3 4	3 4		3 4
					1 2 2 ( 1) 4 0 0 1			1	3 4 1
				1 2 0 0				3
2) A	– B	= D	=	1 2 0 0		4 0 1 2 =		3	0 4 1		;
3 4	3 4				4 1 1 3	2 2 3 0		3 2 0		3
3 4	3 4	3 4

3) так как число столбцов матрицы А равно 4, а число строк матрицы В равно 3, то произведение АВ не определено. Аналогично, не определено произведение ВА.

		1		1	0				2
П р и м е р 1.13. Пусть A		1		1	0	, B		=	1	.
П р и м е р 1.13. Пусть A		=				, B	1	=	1	.
2	3		4	3	1	3	1
			4	3	1				2
									2

Р е ш е н и е

1)Суммы и разности матриц не существует, так как исходные матрицы разного размера: матрица А имеет размер 2 3, а матрица В – размер 3 1;

2)так как матрицы А и В согласованные, то произведение матриц А В оп-

													1 1 0					2	1 2 ( 1) 1 0 ( 2)								1
ределено:				A				·	B			=	1 1 0			·		1	1 2 ( 1) 1 0 ( 2)								1		, произведе-
ределено:				A		3		·	B	1		=				·		1	=							=			, произведе-
					2	3			3	1											3 1 1 ( 2)
													4 3 1						4 2		3 1 1 ( 2)						9
																	2
ние матриц В А не определено, так как матрицы B3 1																								и	A2 3		– несогласован-
ные матрицы.
																		2	1				1 2	3
																		1					1 2	3
	П р и м е р 1.14. Пусть A															=			0	, B
	П р и м е р 1.14. Пусть A															=			0	, B			=		.
														3	2			1	3		2	3	5 1 2
																		1	3
	Р е ш е н и е
	1) Операции сложения и вычитания матриц А и В не определены, так как
они имеют разный размер;
2) произведения матриц А В и В А существуют, но AB BA:
					2 1						1		2	3				2 1 1 5					2 2 1 1				2 3 1 2
A		· B									1		2	3		( 1) 1 0 5						( 1) 2 0 1				( 1)		3 0 2
A		· B			=		1 0				·					( 1) 1 0 5						( 1) 2 0 1				( 1)		3 0 2
3 2			2 3
							1 3				5 1			2				1 1 3 5					1 2 3 1					1 3 3 2
							1 3											1 1 3 5					1 2 3 1					1 3 3 2
							1 2 3							2 1		1 2 2 ( 1) 3 1 1 1 2 0 3 3													3 10
=; B			· A				1 2 3									1 2 2 ( 1) 3 1 1 1 2 0 3 3													3 10
=; B	3		· A	2		=							· 1 0		=														=	.
2	3		3	2										1 3
								5 1 2						1 3		5		2 1 ( 1) 2 1 5 1 1 0 2 3											11 11

			2	2					3	4
П р и м е р 1.15. Пусть A						B
П р и м е р 1.15. Пусть A			=		,	B			=		.
	2x2		1 2				2 2		2	3
Р е ш е н и е
	2 3 2 4							5 6
1) A2 2 + B2 2 = C2 2 =
1) A2 2 + B2 2 = C2 2 =	1	2		2	3	=		3 5 ,
	2 3 2 4							1 2
2) A2 2 – B2 2 = D2 2 =						=				;
2) A2 2 – B2 2 = D2 2 =	1	2		2	3	=		1 1		;

3) произведения матриц А В и В А существуют, так как матрицы согласованные:

	2 2		3 4		2 3 2 2
A2 2 · B2 2 = C2 2 =
A2 2 · B2 2 = C2 2 =	1 2	·	2 3	=	1 3 2 2
	3 4		2 2		3 2 4 1
B2 2 · A2 2 = D2 2 =
B2 2 · A2 2 = D2 2 =	2 3		· 1 2	=	2 2 3 1

2 4 2 3		10 14
	=			;
1 4 2 3	=	7 10		;
3 2 4 2		10 14

2 2 3 2	=	7 10	.

Таким образом, А В = В А, т. е. данные матрицы коммутирующие.

1.2. Определители

1.2.1. Определители квадратной матрицы и их свойства

Пусть А – квадратная матрица порядка n:

a	a ...a
11	12	1n
a	a	...a
А= 21	22	2n
................

	an 2	...ann
an1	an 2	...ann

Каждой такой матрице поставим в соответствие число, называемое определителем (детерминантом) матрицы и обозначаемое A , det A или .

Отметим, что определитель определен только для квадратных матриц.

Определителем матрицы первого порядка A (a11) или определителем первого порядка называется элемент a11 : A a11.

Рассмотрим правила вычисления определителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка, которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядка соответственно.

Определителем матрицы второго порядка или определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:

		a	a
		11	12
A	=	11	12	= a	a	– a	a ,	(1.1)
		a	a	11	22	12	21
		21	22

т. е. определитель второго порядка есть число, равное произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

			4		1					1
			4		1				4	1
П р и м е р 1.16. Пусть	A					. Тогда	A	=			= 4 · 3 – ( –1) · 2 =
П р и м е р 1.16. Пусть	A	2	=			. Тогда	A	=			= 4 · 3 – ( –1) · 2 =
	2	2		2	3				2	3

= 12 + 2 = 14. Следует помнить, что для обозначения матриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя – вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.

Свойства определителя второго порядка:

1) определитель матрицы не изменяется при транспонировании:

a	a		a	a
11	12	=	11	21	;
a	a		a	a
21	22		12	22

2) знак определителя меняется на противоположный при перестановке строк (столбцов) определителя:

a	a		a	a		a	a		a	a
11	12	= –	21	22	,	11	12	= –	12	11	;
a	a		a	a		a	a		a	a
21	22		11	12		21	22		22	21

3) общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя можно выносить за знак определителя:

ka	ka		a	a		ka	a		a	a
11	12	= k	11	12	или	11	12	= k	11	12	;
a	a		a	a		ka	a		a	a
21	22		21	22		21	22		21	22

4)если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю;

5)определитель равен нулю, если соответствующие элементы его строк (столбцов) пропорциональны:

a	a		a	ka
11	12	= 0,	11	11	= 0;
ka	k a		a	ka
11	12		21	21

6) если каждый элемент i-ой строки (столбца) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей: у одного из них i-ой строкой (i-ым столбцом) служат первые слагаемые, а у другого – вторые,


	a b		a b		a a			b b			a b		a			a a			b a
	a b		a b		a a			b b			a b		a			a a			b a
т. е.	11	11	12 12	=	11	12	+	11	12	,	11	11 12			=	11	12	+	11	12	;
	a		a		a a			a a			a b		a			a a			b a
	21		22		21	22		21	22		21	21		22		21	22		21	22

7) определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и тоже число k :

так как

= 0 по свойству 5;

2122

8)определитель произведения двух квадратных матриц равен произведе-

нию определителей этих матриц: AB A B .

Определителем матрицы третьего порядка или определителем третье-

го порядка называется число, вычисляемое по правилу:

												a		a		a
												11		12		13
												a		a		a
					=	A		= det A=				a		a		a		=
												21		22		23
												21		22		23
												a		a		a
												31		32		33
= a a		a	+ a	a	a		+ a a			a	– a a			a	– a	a a			– a	a	a ,	(1.2)
11	22	33	12	23	31		13		21	32	13		22	31	11	23	32		12	21	33

т. е. каждое слагаемое в формуле (1.2) представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какие произведения в формуле (1.2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус, полезно знать правило треугольников

(правило Саррюса):

•

П р и м е р 1.17. Вычислить определитель

Р е ш е н и е

A=1 1 ( 2) 4 ( 4) 0 3 ( 2) 2 (3 1 4 1 0 2 ( 2) ( 2) ( 4))=

=2 12 0 (12 0 16) 14 4 10 .

Следует отметить, что свойства определителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся на случай определителей любого порядка, в том числе и третьего.

1.2.2. Теоремы Лапласа и аннулирования

При вычислении определителей более высоких порядков используются другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором Mij элемента aij матрицы n-ого порядка называется определи-

тель матрицы (n –1)-го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i-той строки и j-го столбца.

a11

a12

a13

Например. А = a21

. Тогда, M

a22

a23

, M

a31

a32

a33

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij

матрицы n-ого порядка на-

зывается его минор Mij , взятый со знаком ( 1)i j . Алгебраическое дополнение

будем обозначать A

, т. е.

A = ( 1)i j

П р и м ер 1.18. Пусть А = a21

a22

a23

a32

a31

a33

Тогда A = ( 1)2

3 M

= ( 1)

2 3

= –

A = ( 1)3 3 M

= ( 1)3 3

11 12

Вернемся к формуле (2.2). Группируя элементы и вынося за скобки общий множитель, получим:

	A	= a ( a a – a a ) + a ( a a – a a ) + a ( a a – a a )=
	A	= a ( a a – a a ) + a ( a a – a a ) + a ( a a – a a )=
		11	22	33					23	32		12	23	31		21	33		13	21	32		22	31
						a			a						a	a						a	a
						a			a						a	a						a	a
	= a		( 1)1 1		22					23	+ a	( 1)1 2			21	23		+ a	( 1)1 3			21	22		=
11					a				a		12				a	a		13				a	a
11											12							13
					32					33					31	33						31	32
										= a		A + a		A + a A .
											11	11	12	12		13	13
Аналогично получаются равенства:
						A		= a A + a A + a A , i 1, 2, 3;
						A		= a A + a A + a A , i 1, 2, 3;
										i1	i1	i 2	i 2	i3		i3								(1.3)
																								(1.3)
					A		= a A + a A + a A , j 1, 2, 3.
					A		= a A + a A + a A , j 1, 2, 3.
										1 j	1 j	2 j	2 j	3 j		3 j

Формулы (1.3) называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки (j-го столбца), или формулами Лапласа для определителя третьего порядка.

Таким образом, мы получаем правило вычисления определителя, сформулированное в следующей теореме:

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. На практике при вычислении определителя более высокого порядка целесообразно вначале преобразовать его строки (столбцы) так, чтобы в какойлибо строке (столбце) появилось как можно больше нулей. В ходе преобразований пользуются свойствами определителя 1–7. Дальше определитель находят разложением по этой строке (столбцу).

															1999	2000
														1998	1999	2000

П р и м е р 1.19. Вычислить определитель											A	=		2000	2001	2002	= (из
														1998	1999	2001
									1999	2000
							1998		1999	2000
второй строки вычтем первую) =							2		2	2			= (из третьей строки вы-
							1998		1999	2001
				1999	2000
		1998		1999	2000
чтем первую) =			2	2		2		= (разложим определитель по элементам
			0	0		1
третьей строки) = 1			( 1)3 3			1999			= (из второго столбца вычтем первый
третьей строки) = 1			( 1)3 3		1998	1999			= (из второго столбца вычтем первый
					2	2
		1
столбец) =	1998	1	= 1998 0 – 1			2 = –2.
	2	0

П р и м е р 1.20. Рассмотрим определитель четвертого порядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, т.е. разложением по элементам

				0	2	4
			1	0	2	4
строки (столбца).	A	=	2	3	1	3	= (так как второй столбец содержит три ну-
строки (столбца).	A	=	2	3	1	3	= (так как второй столбец содержит три ну-
			3	0	2	1
			3	0	2	1
			2	0	4	1

левых элемента, то разложим определитель по элементам второго столбца) =

		2	4
	1	2	4
= 3 ( 1)2 2	3	2	1	= (из второй строки вычтем первую, умноженную на 3,
	2	4	1
						2	4
					1	2	4
а из третьей строки вычтем первую, умноженную на 2) = 3					0	4	11	= (раз-
					0	0	7

Теорема аннулирования. Сумма всех произведений элементов одной строки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения

элементов другой строки (столбца) равна нулю, т. е. a																			A + a		A + a	A		= 0,
																		i1	k1 i 2		k 2	i3 k 3
i k, k 1,2,3.
П р и м е р 1.21.
				1999		2000
			1998	1999		2000
	A	=	2	2		2		= (разложим по элементам третьей строки) =
	A	=	2	2		2		= (разложим по элементам третьей строки) =
			0	0		1
						2000					1998			2000						1998 1999
			3 1	1999		2000				3 2	1998			2000					3 3	1998 1999			= –2.
= 0 ( 1)				2		2	+0 ( 1)						2		2		+1 ( 1)				2	2	= –2.
				2		2							2		2						2	2
Проверим выполнение теоремы аннулирования: 0 A21+ 0 ∙ A22 + 1 ∙ A23 =
						2000						1998		2000							1998	1999
= 0 ( 1)2 1					1999	2000		+ 0∙ ( 1)2 2				1998		2000				+ 1	( 1)2 3		1998	1999		= 0.
					0	1							0		1						0		0
Замечание. Если определитель любого порядка имеет треугольный вид
										a	a		... a
										a	a		... a
										11	12			1n
										0		a	...a			,
									A =		22			2n		,
											22			2n
										...................
										...................
										0	0		... a
														nn

то он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:


					A	= a		a	…	a .
(1.4)						11			22	nn
(1.4)
П р и м е р 1.22. Вычислить определитель.
				2		0	1
			3	2		0	1
	A	=	0	1		3	4	3 1 ( 2) 3 18.
	A	=	0	1		3	4	3 1 ( 2) 3 18.
			0	0		2	1
			0	0		2	1
			0	0		0	3

Таким образом, чтобы воспользоваться формулой (1.4), необходимо с помощью свойств определителя 1–7 привести его к треугольному виду.

1.3.Обратная матрица

1.3.1.Понятие обратной матрицы. Существование и единственность

обратной матрицы. Свойства обратной матрицы

В теории чисел наряду с числом a определяют число ( a ), противоположное ему, такое, что a ( a) 0 , и число a 1 1a , обратное ему, такое, что

a a 1 1. Например, для числа 5 противоположным будет число (– 5), а обрат-

ным будет число 1 . Понятие противоположной матрицы (см. свойство 7, стр. 8)
5
мы уже ввели.
Обратной матрицей для квадратной матрицы А порядка n называется мат-
рица A 1 , такая, что выполняются равенства
A A 1 A 1 A E ,	(1.5)
где Е – единичная матрица порядка n.

Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если det A ≠ 0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной (особенной).

	Теорема. Обратная матрица A 1					существует тогда и только тогда, когда
исходная матрица невырожденная.
	Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную
матрицу.
	Доказательство: Пусть для матрицы А существует две обратные матрицы
A	1 , A	1 , т. е.	A A 1 A 1 A E			и A A		1 A	1 A E .
	1	2	1	1				2	2
	Тогда A 1		= A 1	E = A	1 ( A	A	1 )= ( A 1		A ) A	1 = E A	1 = A	1 .
		1	1		1		2	1		2	2	2
	Следовательно, A			1 = A	1 , что и требовалось доказать.
				1	2

Для невырожденных матриц имеют место следующие свойства:

1) A

A ; 2) A B

; 3)

; 4) A

	1 n
A	.

Найдем определитель обратной матрицы. Так как определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц, т. е. AB A B , то произведение двух невырожденных

матриц АВ есть невырожденная матрица и

A A 1

A 1

<<< < Предыдущая 12 / 102 3 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20163.15 Mб315Учебник КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ 1часть.doc
#
17.11.201981.16 Кб10Учебник по 2ин.яз для ЗФО (1).docx
#
20.02.2016876.25 Кб2467Учебник по Истории.pdf
#
14.08.2019803.33 Кб49Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб70Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб26УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб204Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб134Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб3учебное пособие по дел док 1 (книга).doc