УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1
.pdf
соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой, т. е. r / d ε .
П р и м е р 3.15.
Найти каноническое уравнение линии, для каждой точки которой отноше-
ние расстояния от точки F 7; 2 (фокус) к расстоянию до прямой x 265
(директриса) есть величина постоянная, равная ε 54 (эксцентриситет). Опре-
делить вид линии, сделать чертеж.
Р е ш е н и е Сделаем условный чертеж (рис. 13).
у 
М(х, у) M1
F(-7; 2) |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
7 |
|
26 |
O |
х |
|
|
|||
|
|
5 |
|
|
Рис. 13
В выбранной системе координат построим директрису, заданную уравне-
нием х |
26 |
|
, |
и фокус |
F 7; 2 . Так как по |
условию эксцентриситет |
5 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ε 5/ 4 1, |
то |
|
искомой |
линией будет гипербола, |
и поскольку директриса |
|
x 26 / 5 параллельна оси Оу, то ее каноническое уравнение будет иметь вид |
||||||||||||||||||||
(3.44). В этом случае точка М 0 х0 ; |
у0 |
– центр гиперболы, а – действительная |
||||||||||||||||||
полуось, b – мнимая полуось. Пусть М |
х; у – произвольная точка гиперболы, |
|||||||||||||||||||
МF – расстояние от точки М до фокуса F; MM1 – расстояние от точки М до ди- |
||||||||||||||||||||
ректрисы. Тогда по условию задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
МF |
ε или |
МF |
|
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
(3.47) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
MM1 |
|
|
|
MM1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислим MF и ММ1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
MF |
x 7 |
2 |
у 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
, MM1 |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
5 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91
Подставив найденные выражения в уравнение (3.47), получим |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 7 2 y 2 2 |
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x 26 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приведем полученное уравнение к виду (3.44). Для этого возведем обе |
|||||||||||||||||
части уравнения в квадрат, избавимся от знаменателя и приведем подобные |
|||||||||||||||||
члены. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7 2 y 2 |
2 |
25 |
; 16 x 7 |
|
2 |
16 |
y 2 |
2 |
|
|
26 2 |
|
|
||||
|
26 2 |
|
|
|
|
25 x |
; |
|
|
||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16х2 224х 784 16 y 2 |
2 |
25х2 260х 676 ; |
|
|
|
||||||||||||
9x2 36х 108 16 y 2 2 |
0; 9 x2 |
4х 108 16 y 2 2 0. |
|
|
|||||||||||||
Выделим полные квадраты по переменным х и у: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
9 x2 |
2х 4 4 108 16 y 2 2 0; |
|
|
|
|
||||||||||
9 x 2 2 |
36 108 16 y 2 2 0; |
9 x 2 2 16 y 2 2 |
144. |
|
|
||||||||||||
Разделив обе части уравнения на 144, |
получим: х 2 2 |
у 2 2 1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
9 |
|
|
или х 2 2 |
у 2 2 1 – каноническое уравнение гиперболы с центром в |
||||||||||||||||
42 |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точке М 0 2; 2 |
, а 4 |
– |
действительная полуось, b 3 – |
мнимая полуось. |
|||||||||||||
Сделаем чертеж. На рис. 14 |
|
|
– новая система координат с началом O |
|
в |
||||||||||||
O x y |
|
||||||||||||||||
точке М 0 2; 2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3. |
|
0 |
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р 3.16. Исследовать, какая линия определяется уравнением
х2 2 у 5х 4 у 6 0.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Сгруппируем слагаемые, содержащие одну и ту же переменную, и полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чим x2 5х |
2 y2 |
4 y 6 0 |
|
или x2 |
5х 2 y2 |
2y 6 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В каждой из скобок выделим полный квадрат |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
5 |
|
|
25 |
|
25 |
2 |
|
2 |
|
2 1y 1 1 6 0 или |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
|
2 |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2 y 1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разделив обе части последнего уравнения на |
|
57 |
, |
получим канонический |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вид данного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Это уравнение определяет эллипс с полуосями а |
|
57 |
, |
b |
|
57 |
|
, центр |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
эллипса находится в точке |
O |
|
|
; 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.8.1 Задачи для самостоятельного решения
1. Найти каноническое уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояния до точки F Fx ; Fy (фокус) к расстоянию до прямой x a
(директриса) есть величина постоянная, равная ε . Определить вид линии, сделать чертеж.
а) F 2; 0 , |
x |
22 |
, ε |
3 |
; б) F 7; 5 , |
x 3 , ε 1; |
||||
3 |
5 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) F 6;1 , x |
|
21 |
, ε |
5 |
. |
|
|
|
||
|
5 |
|
4 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. Определить вид линии и построить ее:
а) 4х2 у2 8х 4 0 ; б) 3х2 6х 4 у2 9 0 ;
в) 3х2 у2 6х 4y 74 0 ;
г) х2 y2 4х 6 y 4 0 .
93
3. Составить уравнение окружности с центром в точке М 0 4; 2 и проходящей через точку А 3; 2 .
4. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса х2 9 у2 81.
5. Составить уравнение эллипса, вытянутого вдоль оси Ох, оси которого совпадают с осями координат, если большая ось равна 10, расстояние между фокусами равно 8.
6. Составить уравнение гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, действительная ось – с осью Ох, расстояние между фокусами равно
20, уравнение асимптот у 43 х .
7. Составить уравнение гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, действительная ось – с осью Ох, мнимая полуось равна 5, эксцентри-
ситет равен 73 .
8.Составить уравнение гиперболы, центр которой совпадает с началом координат, действительная ось – с осью Ох, действительная полуось равна 3, расстояние между фокусами равно 10.
9.Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью Ох, парабола проходит через точку
М0 2; 3 .
10. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью Ох, расстояние от вершины до фокуса равно 3.
94
ЛИТЕРАТУРА
Белько, И.В. Высшая математика для экономистов. I семестр. / И.В. Белько,
К.К. Кузьмич. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.
Гусак, А.А. Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра / А.А. Гусак. – Минск: Тетрасистемс, 1998. – 288 с.
Жевняк, Р.М. Высшая математика / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. – Минск:
Высш. шк., 1992. – 384 с.
Марков, Л.Н. Высшая математика. Часть 1 / Л.Н. Марков, Г.П. Размысло-
вич. – Минск: Амалфея, 1999. – 208 с.
Учебное издание
Шамукова Наталья Валентиновна Станишевская Людмила Вячеславовна
Варданян Роланд Серобович
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Часть 1
Учебно-методическое пособие
Ответственный за выпуск Н.В. Шамукова
Редактирование З.И. Савицкая Компьютерный дизайн Л.В. Ищейкина
Подписано в печать Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Офсетная печать. Усл. печ. л. 5,4. Уч.-изд. л. 2,2. Тираж 150 экз. Заказ
95