Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Тема 3. ОСНОВЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

3.1. Уравнение прямой на плоскости

Будем предполагать, что на плоскости задана прямоугольная система ко-

ординат Оху.
		Нормальным вектором прямой называется любой ненулевой вектор,		пер-
пендикулярный этой прямой.			х0 ; у0 и нормальным вектором
		Уравнение прямой, заданной точкой М 0	х0 ; у0 и нормальным вектором
		А; В :
	п	А; В :
		А х х0 В у у0 0 .		(3.1)
		Общее уравнение прямой:
		Ах Ву С 0 , А2	В2 0 .	(3.2)

Частные случаи общего уравнения прямой:

1) Ах Ву 0 – прямая проходит через начало координат; 2) Ах С 0 С 0 – прямая параллельна оси Оу;

3)Ву С 0 С 0 – прямая параллельна оси Ох;

4)х 0 – уравнение оси Оу;

5)у 0 – уравнение оси Ох.

Уравнение прямой в отрезках:

х	у	1,	(3.3)
а	b

В (0; b)

А (а; 0)

0	х
0
a
Рис. 9

где прямая (рис. 9) пересекает ось Ох в точке А (а; 0) и ось Оу в точке В (0; b) (a 0;b 0) .

Направляющим вектором прямой называется любой вектор, параллельный этой прямой.

Уравнение прямой, заданной точкой М 0 х0 ; у0 и направляющим векто-

ром s m; n в координатной форме (каноническое уравнение прямой)

x x0	y y0	.	(3.4)

m	n

Параметрические уравнения прямой,

заданной точкой М 0 х0 ; у0

и на-

правляющим вектором

m; n :

x x0

mt,

t ; .

(3.5)

y y0

nt,

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

M1 x1; y1 и

M 2 x2 ; y2 :

x x1

y y1

(3.6)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

у kх b ,

(3.7)

где k tg – угловой коэффициент прямой; – угол между прямой и положительным направлением оси Ох; b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oу.

Пусть прямая проходит через точку М 0 х0 ; у0 и ее направление харак-

теризуется угловым коэффициентом k. Тогда уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

y y0	k x x0		.		(3.8)
Расстояние от точки М 0 х0 ; у0 до прямой Ах Ву C 0 :
d	Ax0 By0 С			.	(3.9)


		A2 B2

П р и м е р 3.1. Дано общее уравнение прямой 15х 5у 60 0. Составить

для этой прямой:

а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках.

Р е ш е н и е а) Разрешив уравнение прямой относительно у, получаем уравнение с уг-

ловым коэффициентом

		у 3х 12,			здесь k 3, b 12 ;
б) 15x 5y 60 ,	15x		5y	1,	x	y	1,	x	y	1.
		60	60		60	60		4	12

155

Пр и м е р 3.2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

M1 3;1 и M 2 5; 4 .

Р е ш е н и е Подставляя координаты точек в (3.6), получаем искомое уравнение прямой

x 3

y 1

или 3x 2y 7 0 .

3.1.1 Задачи для самостоятельного решения

1. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору

A; B и

проходящей через точку М 0 х0 ; у0

, если:

1; 3 , М 0

3; 4 ; б)

3; 0 , М 0 4; 5 ;

а)

в)

0; 5 , М 0

0; 0 .

2. Составить уравнение прямой, параллельной вектору

m; n и прохо-

дящей через точку М 0 х0 ;

у0 , если:

а)			3; 4 , М 0 3; 5 ; б)		5; 0 ,	М 0 3; 4 ;
	s			s
в)			0; 4 , М 0 0; 0 .
		s

3. Дана прямая 3х 4у 4 0. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 2;1 :

а) параллельно данной прямой; б) перпендикулярно к данной прямой.

4.Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 0 11; 5 и отсекающей на осях координат равные отрезки.

5.Составить уравнение прямой, проходящей через точку М 4; 3 и отсекающей на оси Оу отрезок, вдвое больший, чем на оси Ох.

6.Составить уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1; y1 ,

М2 х2 ; у2 , если:

3; 4 , М 2 5; 2 ; б) М1 3; 5 , М 2 3; 4 ; в) М1 1; 2 ,

0; 2 .

2
7. Вершины треугольника АВС находятся в точках А 3; 5 ,	В 4; 1 ,

С 2; 4 .

Требуется:

а) составить уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне АВ;

б) найти длину высоты, проведенной из вершины С треугольника АВС; в) составить уравнения высот треугольника АВС; г) показать, что высоты пересекаются в одной точке.

8.Привести данные уравнения к уравнениям с угловым коэффициентом:

а) 2х 3у 6 ; б) 2х 3у 0; в) 4х 3у 1.

9.Составить уравнение прямой, отсекающей на оси Оу отрезок b 3 и образующей с осью Ох угол :

а) 45 ; б) 135 .

3.2. Взаимное расположение двух прямых на плоскости


Пусть у прямых L1 и L2 известны либо:
а) направляющие векторы				1 m1 ;		,			1 m2	; n2 ;
			s		n1			s
б) нормальные векторы		1 А1 ; В1			,		А2 ; В2			;
	п					п2

в) угловые коэффициенты k1 и k2 .

Под углом между двумя прямыми понимается любой из двух смежных углов, образованных прямыми при их пересечении 0 .

Угол находится по одной из формул:

m1m2

n1n2

а) cos

s1 s

;

A1 A2

B1 B2

б) cos

n1 n2

;

в) tg

k2 k1

k k

1 .

1 k1k2

Условия параллельности прямых L1 || L2 :

;

а) s || s

;

б) n1

|| n2

в) k1 k2 .

Условия перпендикулярности прямых L1 L2

а) s1 s2 s1 s2 0 m1m2 n1n2 0;

б) n1 n2 n1 n2 0 A1 A2 B1 B2 0;

в) k1k2 1.

П р и м е р 3.3. Какие из следующих пар секаются:

а) х 2у 5 0; 4х 8у 16 0;

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.17)

(3.18)

прямых параллельны, пере-

б) 3х 4 у 0; 6х 8у 5 0; в) 4х 3у 10 0; х у 3 0?

Найдите угол между прямыми из пункта а).

Р е ш е н и е

1 1; 2 ,

а) Для первой прямой

х 2 у 5 0

для второй прямой

4х 8у 16 0

2 4; 8 . Проверим условие (3.14):

2 .

Оно выполняется и, значит, прямые параллельны.

б)

1 3; 4 ,

6; 8 .

Так как условие (3.14) выполняется:

4 , то прямые параллельны.

в)

1 4; 3 ,

2 1;1 . Так как не выполняется условие (3.14):

, то

прямые пересекаются.

Угол между прямыми x 2 y 5 0

и 4x 8y 16 0 найдем по формуле

(3.11): cos

1( 4 ) ( 2 ) 8

1. Значит =1800 .

( 2 )2

( 4 )2 82

400

3.2.1Задачи для самостоятельного решения

1.Вычислить угол между данными прямыми:

а) х 4у 3 0, 2х 4у 3 0;
б)	х 1	у 3	,	х 4	у 4	;
				2	3
2		3
в) у 3х 6, у х 8 .
2. При		каком		значении		параметра	прямые 5х у 6 0,

3х 15у 8 0:

а) параллельны; б) перпендикулярны?

3. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х 2 у 0 , 2х 4у 3 0 и одна из его вершин А 2; 5 . Составить уравнения двух других сторон па-

раллелограмма.
4. Даны уравнения двух	сторон прямоугольника 2х 4у 6 0,
6х 3у 3 0 и одна из его вершин	А 1; 4 .

Требуется:

а) составить уравнение двух других сторон прямоугольника; б) вычислить площадь прямоугольника.

5. Найти расстояние между параллельными прямыми:

а) х 2 у 6 0 , 2х 4у 8 0; б) х 1, х 4; в) 2х 3у 0 , 2х 3у 5 0 .

3.3. Уравнение плоскости в пространстве

Будем предполагать, что в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz .

Нормальным вектором плоскости называется любой ненулевой вектор,

перпендикулярный этой плоскости.
Уравнение плоскости, заданной точкой М х0 ; у0 ; z0			и нормальным век-
тором		A; B; C :
	n
		A x x0 B y y0 C z z0 0.		(3.19)
Общее уравнение плоскости:
		Ах Вy Сz D 0 A2 B2 C 2 0 .		(3.20)
Частные случаи общего уравнения плоскости:
1) Ax Bу Cz 0 – плоскость проходит через начало координат;
2) Ax Bу D 0 – плоскость параллельна оси			Оz ( Ax Сz D 0 ,
By Cz D 0 – параллельна оси Оу, Ох соответственно);

3)Ax Bу 0 – плоскость проходит через ось Oz ( Ax Cz 0, By Cz 0

–через ось Оу и Ох соответственно);

4) Ах D 0 – плоскость параллельна плоскости Oyz (Cz D 0, By D 0 – параллельна плоскости Oxy и Oxz соответственно);

5)Ах 0 , т. е. х 0 – плоскость совпадает с плоскостью Oyz ( y 0, z 0

–уравнения плоскостей Oxz и Oxy соответственно).

Уравнение плоскости в отрезках

х	у	z	1.	(3.21)
а	b	c

Эта плоскость пересекает оси координат в точках А (а, 0, 0), В (0, b, 0) и

С (0, 0, с).
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 x1; y1; z1 ,
M 2 x2 ; y2 ;	z2 , M3 x3 ; y3 ; z3 :
		x x1	y y1	z z1
		x x1	y y1	z z1
		x2 x1	y2 y1	z2 z1	= 0.	(3.22)
		x3 x1	y3 y1	z3 z1

Расстояние от точки M 0 x0 ; y0 ; z0 до плоскости Ax By Cz D 0:

Ax0 By0 Cz0 D

(3.23)

A2 B2 C 2

П р и м е р 3.4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M 0 2; 3; 4

и параллельной векторам

3; 2; 1 и

0; 3;1 .

Р е ш е н и е

Пусть

M x; y; z

–

текущая

точка

плоскости.

Тогда

векторы

x 2; y 3; z 4

M 0 М

а, b –

компланарны. Из условия компланарности

трех векторов следует, что их смешанное произведение равно нулю:

x 2

y 3

z 4

М0 М a b

0 .

Вычислив определитель в левой части, получим общее уравнение плоско-

сти 5х 3у 9z 55 0.

П р и м е р 3.5. Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz и

проходящей через точки M1 3; 1; 2 и M 2 1; 2; 5 .

Р е ш е н и е

Пусть

M x; y; z

–

текущая

точка

плоскости.

Тогда

векторы

x 3; y 1; z 2 ,

4; 3; 3 ,

M1М

M1М 2

k (0; 0; 1)

–

компланарны и

х 3

у 1

z 2

M1M M1M 2

k 0. Отсюда следует

или 3х 4y 5 0 –

общее уравнение плоскости.

3.3.1 Задачи для самостоятельного решения

1. Составить общее уравнение плоскости, которая проходит:

а) через точку М 1; 1;1 перпендикулярно к вектору

2; 1; 3

;

б) через точку М 1; 0;1 и ось Ох( Оу; Oz)

в) через точку М 1; 2; 2 параллельно плоскости Oxy ( Oyz; Oxz ).

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки:

а) М1

2; 0; 0 , М 2

0; 4; 0 , М3 0; 0; 5

;

б) М1

1; 2; 3 , М 2 4; 5; 8 , М3 5; 8; 0 .

3. Составить уравнение плоскости,

проходящей через точку М 2; 1; 4

параллельно плоскости 12х 3у 5z 10 0.

4. Какие отрезки отсекает плоскость 12х 4у 2z 12 0 на осях координат?

5.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1 2; 1; 8 ,

М2 2; 1, 8 и отсекающей на осях координат:

а) равные отрезки;

б) на оси Oz отрезок, вдвое больший, чем на осях Ох и Оу.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

М1 1; 2; 3

М 2 1; 3; 4 перпендикулярно плоскости 2х 4у z 10 0 .

7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

М1 1; 3; 0

4; 4;

перпендикулярно плоскости

3.4. Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть

плоскостей

Р1

Р2

известны

нормальные векторы

1 А1; В1; С1

2 А2 ; В2 ; С2

соответственно.

Под углом между двумя плоскостями понимается любой из двух смеж-

ных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Угол между плоскостями Р1 и Р2 вычисляется по формуле

А1 А2 В1 В2 С1С2

cos

п1 п2

(3.24)

А2 В2 С 2

А2

В2

С 2

Условие параллельности плоскостей

1 ||

А1

(3.25)

А2

Условие перпендикулярности плоскостей

Р1 Р2 п1 п2

п1 п2

0 А1 А2

В1В2

С1С2 0 .

(3.26)

П р и м е р 3.6. Найти величину острого угла между плоскостями:

а) 11х 8у 7z 15 0 и 4х 10у z 2 0 ; б) 2х 3у 4z 4 0 и 5х 2у z 5 0.

Р е ш е н и е а) Воспользуемся формулой (3.24):

		11 4 8 10 7 1				.
cos		11 4 8 10 7 1	117	2	,

	121 64 49 16 100 1		234 117
	121 64 49 16 100 1		234 117	2		4

б) Так как 2 5 3 2 4 1 0, то выполняется условие (3.26) перпендикулярности плоскостей. Следовательно, плоскости взаимно перпендикуляр-

ны и 2 .

П р и м е р 3.7. Написать уравнение плоскости, параллельной плоскости

х 2у 2z 5 0 и удаленной от точки M

3; 4; 2

на расстояние d 5 .

Р е ш е н и е

Уравнение искомой плоскости ищем в виде

x 2y 2z D 0. Найдем

значение D. Так как точка М удалена от искомой плоскости на расстояние

d 5, то

по

формуле

(3.23) 5

3 2 4 2 2

или

D 9

, т. е.

1 4 4

D 9 15, откуда D 24 или D 6 .

Таким

образом,

условию

задачи

удовлетворяют

две

плоскости:

x 2y 2z 24 0 и x 2y 2z 6 0.

3.4.1 Задачи для самостоятельного решения

1. Найти величину острого угла между плоскостями:

а) х у 2z 5 0 и 2х 3у z 2 0 ;

б) 2х 2у z 0 и z 0 .

2. Найти расстояние между параллельными плоскостями:

а) х у z 2 0 и 2х 2у 2z 5 0;

б) 2х 3у 6z 14 0 и 2х 3у 6z 42 0 ;

в)

1 и 15х 10у 6z 20 0 .

3. При каком значении параметра заданные плоскости:

1) параллельны; 2) перпендикулярны?

а) 4х 6у 3z 15 0, 2х 3у z 10 0; б) 4х 5у 3z 15 0 , 2х 3у z 10 0 .

3.5. Уравнение прямой в пространстве

Общие уравнения прямой (как линии пересечения двух плоскостей):

А х В у С z D 0,
1	1	1	1	(3.27)
А2 х В2 у С2 z D2 0.

Система (3.27) определяет прямую только в том случае, когда коэффициенты А1 , В1 , С1 не пропорциональны коэффициентам А2 , В2 , С2 .

Уравнение прямой, заданной точкой М 0 х0 ; у0 ; z0 и направляющим вектором s m; n; p (канонические уравнения прямой):

			х х0	y y0		z z0	.	(3.28)
							.	(3.28)
			m	n		p
Параметрические уравнения прямой,					заданной точкой			М 0 х0 ; у0 ; z0 , и
направляющим вектором		m; n; p :
направляющим вектором	s	m; n; p :

x x0 mt,
		nt,	t ; .
y y0
z z	0	pt,

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

М 2 х2 ; у2 ; z2 :

x x1			y y1			z z1			.
		х			у
х	2		у	2		z	2	z
		1			1			1

(3.29)

М1 х1; у1; z1 и

(3.30)

Расстояние от точки М1 х1; у1; z1 до прямой, заданной

точкой

М 0 х0 ; у0 ; z0

и направляющим вектором

m; n; p :

M 0 M

1 s

(3.31)

Расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными точками М1 и

М 2 и направляющими векторами s1 и s 2

соответственно:

M1M

2 s1 s

(3.32)

s1 s 2

х 2 у 3z 2 0,

П р и м е р 3.8. Общие уравнения прямой преобразо-

2х 2 у z 5 0

вать к каноническому виду; определить величины углов, образованные этой прямой с координатными осями.

Р е ш е н и е Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее на-

правляющий вектор s . В качестве точки, через которую проходит искомая прямая, возьмем точку ее пересечения с какой-либо из координатных плоскостей, например с плоскостью 0ху, уравнение которой z 0 . Тогда для определения абсциссы х и ординаты у этой точки получим систему уравнений

х 2 у 2 0,2х 2 у 5 0.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20163.15 Mб315Учебник КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ 1часть.doc
#
17.11.201981.16 Кб10Учебник по 2ин.яз для ЗФО (1).docx
#
20.02.2016876.25 Кб2467Учебник по Истории.pdf
#
14.08.2019803.33 Кб49Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб70Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб26УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб204Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб134Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб3учебное пособие по дел док 1 (книга).doc