Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Векторным произведением векторов a и b называется вектор, обозначае-
мый c a b или с а, b и удовлетворяющий условиям:
1)	с а b sin ,	(2.9)

где – угол между векторами a и b ;

2)вектор с ортогонален векторам a и b ;

3)тройка векторов a, b, c – правая.

Если хотя бы один из векторов а и b нулевой, то полагают a b 0 .

Вектор c a b в координатной форме можно записать следующим обра-

зом:

a b

y 2

(2.10)

y1z2 y2 z1 i x1z2 x2 z1 j x1 y2 x2 y1 k .

Свойства векторного произведения:

1)a b b a ;

2)(a b ) c a c b c ;

3)( a) b a b (a b ).

4)Необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов.

Ненулевые векторы a и b коллинерны тогда и только тогда, когда их век-

торное произведение равняется нулевому вектору:
à \|\| b a b 0.	(2.11)

Геометрический смысл векторного произведения: длина вектора с а b

численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах a и b , приведенных к общему началу.

Смешанным произведением трех векторов а, b, c называется число, обо-

или

и равное скалярному произведению вектора

значаемое

на вектор

x1; y1; z1

x2 ; y2 ; z2 ,

Смешанное произведение векторов

x3 ; y3 ; z3 в координатной форме

аbc

(2.12)

Свойства смешанного произведения:

1)a b c b c a c a b b a c ac b cb a ;

2)( a b ) c d ac d b c d ;

3)( ma ) b c m ( ab c ) ;

4)смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: a a c 0 .

Ненулевые векторы a, b, c компланарны тогда и только тогда, когда их

смешанное произведение равняется нулю.

Геометрический смысл смешанного произведения: смешанное произведе-

ние трех векторов a, b, c численно равняется объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c (приведенных к общему началу), взятому со знаком «+», если тройка a, b, c – правая, и взятому со знаком «–», если тройка a, b, c – левая (рис. 7).

Рис. 7

П р и м е р 2.8. Вычислить длину вектора 2а 3b a 4b , если из-


		2 ,		6 ,		,		5	.
вестно, что	a		b		a		b
								6

Р е ш е н и е Согласно свойствам векторного произведения, получаем

2а 3b a 4b 2 a a 8 a b 3 b a 12 b b

8 a b 3 a b 11 a b .

Следовательно,			2		3						4				11
Следовательно,			2	а	3		b		a		4		b		11			a	b	11			a b	.


По формуле (2.9) находим модуль вектора с а b :
														sin		5	2 6				1	6.
			c			a		b		a		b				5					1
			c			a		b		a		b
														6						2
														6						2

Тогда 11	a b	11 6 66 .

П р и м е р 2.9. Даны векторы а 1; 2; 2 , b 3; 0; 4 . Найти их век-

торное произведение, синус угла между ними и площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Р е ш е н и е Для нахождения векторного произведения применим формулу (2.10):


										i		j	k

								а b		1	2			2	8i 10 j 6k .
										3	0		4

Находим площадь параллелограмма
																			10		кв. ед .
				S		a b			82 102				62					200	10	2	кв. ед .
Найдем синус угла между данными векторами

					a b
sin		,											10			2						10 2		2 2	.
	a		b										10			2						10 2


					a	b	12		2 2				22				32 02 4 2						3 5	3

П р и м е р 2.10. Вычислить смешанное произведение b c a b 2c , если abc 5 .

Р е ш е н и е Согласно свойствам смешанного произведения, получаем

b c a b 2c b c a b 2c b с b а b 2c = bcb bab 2bcc 2bac 2bac 2abc.

5 , то

Так как

abc

abc 2 5 10.

П р и м е р 2.11. Доказать, что векторы

1; 2; 2 ,

1; 2;1 ,

5; 2; 1 компланарны.

Р е ш е н и е

Проверим условие компланарности abc 0 . Найдем смешанное произведение этих векторов по формуле (2.12):

		2	2
	1	2	2

abc	1	2	1
	5	2	1

II I

III I

	2	2		2	1
1
1
2	0 1		2			0 .
6	0	3		6	3
6	0	3

Следовательно, векторы abc – компланарны.

П р и м е р 2.12.

Даны вершины пирамиды А 5;1; 4 , В 1; 2; 1 , С 3; 3; 4 , D 2; 2; 2 . Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань АВС (рис. 8).

Р е ш е н и е

Так как объем V пирамиды есть V

S h , то h

, где h

– длина

высоты пирамиды, S – площадь основания.

Находим

3;1; 6 ,

4;1; 3 ,

2; 2; 0 .

АD

А	О	В
	О

																																																С
																																	Рис. 8
			1																		1						3			1				6					1					1	3							4 3		4 1


V																							mod				4														3												6
					AD AB AC																									1				3
					AD AB AC																									1				3																		2 0		2 2
			6																6								2			2				0					6					2 0
	1		6												1				6																				6					2 0

			18 6 36														24							4.


6													6
6													6
Находим площадь основания

										1																1								i		j				k				1
																											mod						4
						S								AB AC																					1				3								6i 6 j 6k
						S								AB AC																					1				3								6i 6 j 6k
									2																	2							2		2				0					2										.
									2																	2																		2

								1																											1

											6 2								6 2 6 2
																																						6 3 3 3.
																																						6 3 3 3.
				2																															2
																						3 4
Следовательно, h																						3 4						4		3		.

																				3 3
																				3 3						3
									2.2.1 Задачи для самостоятельного решения
1. Упростить выражения:
							2															3									; б)																				.
а)		i		j		k	2					j				i		k				3			k		i		j		; б)						a					b				a				b	.

2. Вычислить														a b				, если известно, что																						a			3,					b	6, ab 9.

4 , вычислить

3. Векторы a и b перпендикулярны. Зная, что

; б)

а)

4. Даны точки A 2; 1; 2 ,

B 1; 2; 1 ,

C 3; 2;1 . Вычислить векторные

произведения:

а) AB BC; б)

5. Даны точки

A 1; 2 : 0 ,

B 3; 0; 3 ,

C 5; 2; 6

. Вычислить площадь

треугольника АВС.

6. Вычислить смешанное произведение abc , если известно, что

30 ,

7. Вычислить смешанное произведение abc , если a b 4c,

2 .

8. Доказать, что точки A 1; 2; 1 ,

В 0;1; 5 , С 1; 2;1 ,

D 2;1; 3 ле-

жат в одной плоскости.

9. Объем

тетраэдра

V 5,

три

его

вершины

находятся в точках

A 2; 1; 1 ,

B 3; 0;1 ,

C 2; 1; 3 . Найти координаты вершины D, если из-

вестно, что она лежит на оси Оу.

2.3. Векторное пространство. Базис и ранг системы векторов

Множество V элементов a,b,c, называется линейным или векторным пространством, если:

1)есть правило, которое каждым двум элементам а и b из V ставит в соответствие третий элемент из V, называемый суммой а и b и обозначаемый a b ;

2)есть правило, которое каждому элементу a V и любому действительному числу ставит в соответствие элемент из V, называемый произведением

элемента а на число и обозначаемый a . При этом сумма a b и произве-

дение a удовлетворяют аксиомам линейного пространства:

1)a b b a ;

2)a (b c) (a b) c ;

3)существует элемент 0 V, называемый нулевым, такой, что a 0 = 0 a a для любого a V;

4)для любого a V существует элемент (– а), называемый противоположным для а, такой, что a ( a) 0;

5)(a b) a b , где а, b V , R;

6)( ) a a a , где , R, a V;

7)( a) ( ) a , где , R, a V;

8)1 a a , где a V.

Следует отметить, что в качестве элементов а, b, с можно рассматривать векторы.

П р и м е р 2.13. Будет ли являться линейным пространством множество матриц размером m n с действительными элементами?

Р е ш е н и е

Пусть множество V составляют матрицы размером m n . Они будут являться линейным пространством, так как на данном множестве введена операция сложения: если матрицу А V сложить с матрицей B V , то мы получим матрицу С размером m n , которая тоже принадлежит множеству V; и операция умножения на число: если матрицу A V умножить на число , то получим матрицу D, которая также принадлежит множеству V. И так как элементы матрицы – это действительные числа, следовательно, данное множество будет удовлетворять основным аксиомам.

П р и м е р 2.14. Будет ли являться линейным пространством множество многочленов пятой степени?

Р е ш е н и е Данное множество не будет являться линейным пространством, так как

можно подобрать пару таких многочленов, сумма которых не будет давать многочлен пятой степени:

f 1 (x) 4x5 3x3 x 5;

f 2 (x) 4x5 3x4 x2 x 6;

f 3 (x) f 1 (x) f 2 (x) 3x4 3x3 x2 1.

Полученный многочлен является многочленом четвертой степени. Для того, чтобы доказать, что множество не является линейным пространством достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий определение.

Любой упорядоченный набор из n действительных чисел x1, x2 , , xn назы-

вается n–мерным вектором x ( или х) ; числа, составляющие упомянутый набор, называются координатами вектора x .

x1; x2 ; ; xn и

y1; y2 ; ; yn называются равными, ес-

Два вектора

ли xi yi , i 1,2,3, ,n .

Суммой двух n–мерных

векторов x

и y

называется вектор

x y

x1 y1; x2 y2 ; ; xn yn .

называется

Произведением вектора

на

число

вектор

x x1; x2 ; ; xn .

Совокупность всех n–мерных векторов с введенными операциями сложения и умножения на число называется n–мерным векторным пространством.

Система векторов x1, x2 , , xk векторного пространства называется линейно зависимой, если существуют такие числа 1, 2 , , k , хотя бы одно из которых отлично от нуля и выполняется равенство

1 x1 2 x2 k xk 0.

Если же это равенство имеет место лишь при 1 2 k 0, то сис-

тема векторов x1, x2 , , xk называется линейно независимой. Свойства линейно зависимых систем векторов:

1) система векторов x1, x2 , , xk линейно зависима тогда и только тогда,

когда среди ее векторов есть, по крайней мере, один вектор, который линейно выражается через остальные;

2)система, содержащая нулевой вектор, всегда линейно зависима;

3)если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Базисом называется максимальная система линейно независимых векторов. Рангом системы векторов будем называть число векторов ее базиса.

Теорема. Пусть e1,e2 , ,ek – базис системы векторов. Тогда каждый век-

тор x данной системы единственным образом может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса:


x x1 e1 x2 e2 xk ek .						(2.13)

Равенство (2.13) называется разложением вектора x по базису e1,e2 , ,ek ,

а числа x1, x2 , , xk – координатами вектора x в данном базисе.


	П р и м е р 2.15. Даны четыре вектора a,b,c, d		в некотором базисе:

d ( 9;2;25),		a (1;1;3), b (2; 1; 6), c (5;3; 1) . Показать,		что	векторы

a,b,c образуют базис и найти разложение вектора d по этому базису.
	Р е ш е н и е
					1	3
				1	1	3
				2	1	6
	Определитель, составленный из координат векторов		a,b,c	2	1	6
				5	3	1

24 0 , следовательно, эти векторы линейно независимы и образуют базис.


	Чтобы найти координаты вектора d				в базисе a,b,c , распишем равенство

d a b c покоординатно
		1		2	5	9

		1		1	3		2	,
			3	6	1		25	,
			3	6	1		25

что можно записать в виде системы:

2 5 9

3 2

3 6 25.

Решим данную систему по формулам Крамера:

	1			2			5
=	1			1			3	= (1 + 18 – 30) – (–15 – 18 – 2)= – 11 + 35 = 24;
	3			6			1
		9		2			5
		9		2			5
1 =	2				1		3		= (–9 + 150 – 60) – (–125 + 162 – 4) = 81 – 33 = 48;
	25				6		1
				9			5
			1	9			5
2 =			1	2			3	= (–2 + 81 + 125) – (30 + 75 + 9) = 42 – 144 = – 72;
			3	25			1
				2			9
		1		2			9
3 =		1		1			2	= (–25 + 12 + 54) – (27 – 12 + 50) = 41 – 65 = – 24;
		3		6			25
	1				48	2 ; 2					72	3 ;	3		24	1.
						2 ; 2						3 ;				1.
				24						24				24

Таким образом, d 2a 3b c .

2.4. Собственные числа и собственные векторы матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу An n .

Ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А, если существует такое число , что Ах = х. Число называется собственным чис-

лом (значением) матрицы А.

По определению собственного значения и собственного вектора

Ах = х, откуда Ах – Ех = О или (А – Е)х = О.

Таким образом, чтобы найти собственные векторы, необходимо решить систему линейных однородных уравнений, матричная запись которой имеет вид (А – Е)х = О. Эта система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения, необходимо чтобы определитель системы был равен

0: A E 0 .

							A E					является многочленом n–ой степени и называется
	Определитель						A E					является многочленом n–ой степени и называется
характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение																																	A E		0 называ-
характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение																																	A E		0 называ-
ется характеристическим уравнением.
	Таким образом, собственные значения матрицы А являются корнями ха-
рактеристического уравнения													A E					0 .
рактеристического уравнения													A E					0 .
	П р и м е р 2.16. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
																6				0		0

													А			1				3		2 .
																1				3		4
																1				3		4
	Р е ш е н и е
	Составим характеристическое уравнение
								6			0			0
								6			0			0
				A E				1				3			2				0		или		(6 )( 2 7 6) 0,
				A E				1				3			2				0		или		(6 )( 2 7 6) 0,
								1				3			4
откуда собственные числа: 1,2														6 ,		3 1.
	Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению
6 . Для этого решим матричное уравнение
		x				0				0				0			0 x						0
			1																		1
( Α 6Ε) x2						0	или				1			3					2	x2				0	, откуда							придем к системе
		x				0					1			3			2			x				0
			3																		3
	x1 3x2 2x3 0,
			2x3			0.
x1 3x2			2x3			0.
	Найдем ранг матрицы системы:																		1			3		2			1					3		2			. Так как
	Найдем ранг матрицы системы:																										~										. Так как
																				1		3										6
																				1		3		2			0					6		4
			3		6 0 соответствует переменным x
минор		1	3		6 0 соответствует переменным x																						и x	2	, то возьмем их за ба-
		0	6																						1			2
		0	6
зисные, а переменную x											– за свободную. Тогда														x			2		x			, x	3x			2x 0 .
зисные, а переменную x									3		– за свободную. Тогда														x					x			, x	3x			2x 0 .
									3																	2		3			3	1				2	3
								x						0
								1						2
Таким образом,						х x2								2	x3					собственный вектор,													соответствующий
Таким образом,						х x2									x3					собственный вектор,													соответствующий
														3
														x3
								x3						x3
собственному числу 6 , x3 R , x3																	0.

Покажем, что полученный собственный вектор, имеет собственное значе-

		0
ние равное 6. Пусть	x3 3 , тогда х		. По определению собственного зна-
ние равное 6. Пусть	x3 3 , тогда х	2	. По определению собственного зна-
		3
		3

чения собственного вектора			Ах = х, или
6		0	0		0	0			0

	1	3	2		2	12		6	2	,
	1	3	4		3	18			3
	1	3	4		3	18			3
		А		∙	х		=		х,

что и требовалось показать.

Теперь найдем собственный вектор для =1. Для этого решим систему

		A E x 0:					1	3	3	x1		x1	3x2 3x3			0,
		A E x 0:					0	1	1	x	0 или	x1	3x2 3x3			0,	Так как минор
										2			x2			x3 0.
							0	0	0				x2			x3 0.
							0	0	0	x3
	1	3	1 0 соответствует переменным x и										x	2	, то возьмем их за базисные,
	1	3	1 0 соответствует переменным x и										x		, то возьмем их за базисные,
	0	1										1
	0	1
а переменную x3						– за свободную. Тогда						x2 x3 , x1 3x2 3x3 0, и, следова-
				0
тельно, х								R , x3		0 .
тельно, х				x3	, где x3			R , x3		0 .

				x3

Покажем, что полученный собственный вектор, имеет собственное значе-

ние, равное 1. Пусть x3 2 , тогда х 2 .

По определению собственного значения собственного вектора Ax x

или

6		0	0	0	0		0

	1	3	2	2	2	1	2	,
	1	3	4	2	2		2
	1	3	4	2	2		2

			А		∙ х	= х
что и требовалось показать.
		0			0
		2
Ответ: 1,2 6 ,	х	2	x3	; 3	1, х x3	, x3 R , x3	0 .
Ответ: 1,2 6 ,	х	3	x3	; 3	1, х x3	, x3 R , x3	0 .
		3
		x3
		x3			x3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 107 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20163.15 Mб315Учебник КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ 1часть.doc
#
17.11.201981.16 Кб10Учебник по 2ин.яз для ЗФО (1).docx
#
20.02.2016876.25 Кб2467Учебник по Истории.pdf
#
14.08.2019803.33 Кб49Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб70Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб26УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб204Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб134Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб3учебное пособие по дел док 1 (книга).doc