Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

2.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Следовательно,

A 1

. Таким образом, определитель обратной матри-

цы есть число, обратное определителю исходной матрицы.

1.3.2. Алгоритм нахождения обратной матрицы

...a

Пусть А=

0 . Составим матрицу из алгебраических до-

................

an 2

...ann

an1

A ...A

полнений элементов матрицы А:

. Транспонируя ее, получим

................

A ...A

n 2

A ...A

присоединенную матрицу:

n 2 .

................

...A

Найдем произведение

. С учетом теоремы Лапласа и теоремы анну-

лирования:

A ...

j 1

1 j

2 j

1 j

0 ... 0

A ...

... 0

A A

j 1

2 j

1 j

j 1

2 j

j 1

2 j nj

................................................

...............

0 ...

A ....

1 j

2 j

j 1

0 ...0

0 1...0

E , откуда A AT

E и E

A A 1 .

..........

0 ...1

Следовательно,

A 1	1		~
				AT .	(1.6)
		A

Алгоритм нахождения обратной матрицы:

1)Вычисляем определитель матрицы А. Если определитель равен нулю, то обратная матрица не существует.

2)Если определитель матрицы не равен нулю, то обратная матрица существует. Находим алгебраические дополнения Aij элементов матрицы А и со-

ставляем из них матрицу A =( Aij ).

3)			~	~T	.
3)	Транспонируем матрицу A и получаем присоединенную матрицу			A	.
4)	По формуле (1.6) находим обратную матрицу A 1 .
5)	По формуле (1.5) делаем проверку.
П р и м е р 1.23. Найти обратную матрицу.
	1	2	3
а) Пусть А= 4		7	1 . Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то
		2
	1	2	3

определитель матрицы равен нулю. Следовательно, матрица вырожденная и для нее не существует обратной матрицы.

							0	1	2

		б) Пусть А= 1						0	3		. Вычислим определитель матрицы
							0	0	2
			0	1	2		1 ( 1)2		1	1		2	2 0 , значит, обратная матрица существует.
			0	1	2
	A		1	0	3
	A		1	0	3
			0	0		2				0		2
										0		2

		Составим матрицу из алгебраических дополнений
									3						1 3				1 0
							1 1	0	3				1 2		1 3			1 3	1 0
						( 1)						( 1)					( 1)
						( 1)		0	2			( 1)			0 2		( 1)		0 0				2
~								1	2						0	2			0	1		0		0
																						0		0
				=		( 1)2 1						( 1)	2 2				( 1)	2 3							;
			A	=		( 1)2 1						( 1)	2 2				( 1)	2 3			= 2 0			0	;
								0	2						0	2			0	0		3	2	1


						( 1)3 1		1	2		( 1)3 2			0		2	( 1)	3 3	0	1
						( 1)3 1		0	3		( 1)3 2			1		3	( 1)	3 3	1	0
								0	3					1		3			1	0
									~													~T
транспонируя матрицу A , получим присоединенную матрицу																						A

						0	2			3
		~T		=			0
		A		=	2		0			2 ;
						0	0 1
по формуле (1.6) найдем обратную матрицу A 1
													1	3
						0	2			3		0
												0
	1	~	1											2
A 1	1	~	1									1 0 1			.
		AT =				2 0				2	=
		AT =				2 0				2	=
	A		2 0 0							1
	A													1
														1
												0	0	2
														2
Проверим правильность вычислений
												3
				0		1	2		0	1
									0	1
												2
								1 0 1
	A A 1 1 0 3							1 0 1					=
				0			2
				0		0	2		0	0		1

												2
												2

						3					1
0		0	1 1 2 0 0 1 1 0 2 0 0					1 ( 1)		2
0		0	1 1 2 0 0 1 1 0 2 0 0					1 ( 1)		2
											2
						2					2
					3						1
					3						1
= 1 0 0 1 3 0 1 1 0				0 3 0 1			0 ( 1)			3			=
					2						2
					2						2

		0	0 1 2 0 0 1 0 0 2 0 0				3		0 ( 1) 2			1
	0
	0
							2					2
							2					2

Следовательно, обратная матрица найдена верно.

1	0	0
			E .
0	1	0	E .
0	0	1

1.4.Задачи и упражнения

1.4.1.Матрицы и действия над ними

1.Найти сумму, разность, произведение двух матриц А и В:

а)	1 3			4		2					1		1 0	, B	2 0				4	;
а)	A		, B					; б) A						, B						;
		2 0			1						3					1 3
		2 0			1		3				3		2 1			1 3			0
	4 1		2			2		1				1 3		1			1		4 2
	4 1		2		B					A					, B				1 3
в)	A			,	B		4	0	; г)	A		2 0 4			, B			0	1 3		;

		0 3	0				0	3				2	0 3					2	2 1

															2				4												1			2 3					5 5			10
															1				3												1			2 3					5 5			10
д) A 3 1 4								1 , B							1				3
д) A 3 1 4								1 , B							0				2				; е)				A			1				0 5				,	B	1	1	2	;
															0				2
																													0					1 1					1		1	2
															1					0									0					1 1					1		1	2
															1					0
				1		3					4				8										3				2
ж) A				0		1	, B				0		4					; з) A							3				2			,				4 0
ж) A				0		1	, B				0		4					; з) A														,	B						;
																																				8 3
				1		3									0										0 1											8 3
				1		3				8					0
													3							5					1

													14						14						7
		1				4		3					14						14						7
и) A						2 1									4							2			5			.
			3						, B						4							2			5
			3						, B
															7						7				7
			2			1		2							1						1
															1						1
																											1
															2							2					1
															2							2
2.	Доказать, что матрицы А и В коммутирующие:
а)	A				1 3					3 1																	4 2					,			4		8
а)	A							, B						; б) A																		,	B						.
											2
						6 1					2		3												2 6											8 4
3.	Даны матрицы А, В и С. Показать, что (АВ)·С = А·(ВС).
						2 1 0							4					1																4
а)	A					2 1 0							1					0										4 8						4
а)	A								, B				1					0				, C													;
																												8 0
						4 1 4							2															8 0						1
													2					3
																		2				3
б) A						4 8 3 1 ,										1							2			C					2			4
б) A						4 8 3 1 ,						B												,		C									.
																		0				1								3				8
																		0				1								3				8
																		4				0
																		4				0
4.	Вычислить (3А – 2В)·С, если:
		2				4				4			8					, C							1 4								0
A								, B										, C																.
						4					0		1											8 1 4
		0				4					0		1											8 1 4
																	2				1										1			0		2
	Найти A3 , если а)																2				1							A
5.	Найти A3 , если а)											A												;	б)			A					0	0		3		.
																	0					3
																	0					3											2	1		1

6.		Найти матрицу Х, если 3А + 2Х = В, где																				A			1			4	0	,			0		3	0
6.		Найти матрицу Х, если 3А + 2Х = В, где																				A								,		B					.
																									1 0				2				2 1			2
																									1 0				2				2 1			2
7.		Найти АВС, если
					1 0				1					1	0 0						1				1
		A			1 0				1		, B
а)		A									, B			0 1 2					, C				2 2					;
					1 2		2
					1 2		2						1 0 1										1		1

б) A					3 2						1	0		, C		4 1
б) A						, B								, C					.

					1 1						0 1					1 8
					Ответы по теме «Матрицы и действия над ними»
1. а)						1	11				, BA				0		12		; б) произведения АВ и ВА не опреде-
1. а)			AB								, BA								; б) произведения АВ и ВА не опреде-

						8 4								7 3
							12				10						8 5			4												1 1				12
						AB	12				10			BA														AB
лены;		в)				AB						,		BA				16 4		8			;		г)			AB				6		0		8		,

							12				0							0 9			0											4	2			7
																		0 9			0											4	2			7
		3		3		9

BA		8			0	13		; д) сумма, разность и произведение ВА матриц не опреде-
		4			6	9
		4			6	9
																	10			20				30
лены,		AB 8				23 ;				AB O ,				BA					2			4				6		; ж) произведение мат-
лены,		AB 8				23 ;		е)		AB O ,				BA					2			4				6		; ж) произведение мат-
																			2			4				6
																			2			4				6
												4			6							12					8							1	0	0
										AB		4			6							12					8				AB
риц не определено; з)										AB							,		BA										; и)		AB			0	1	0		,

												8				3					24					13								0	0	1
																																		0	0	1
	1		0		0

BA		0	1		0	.
	0		0		1
	0		0		1
									9		10									32			40
2. а) AB BA												; б) AB BA														.
									20		9									40			8
									20		9									40			8
							12				56	26						ABC 85							264 .
3. а) ABC															; б)			ABC 85							264 .
											56		12
						100					56		12
									34				12		16
4. (3A 2B) C																.
													14		56
									112				14		56

					19							5			0	16
				8	19					A3				3 24
5. а)	A3						; б)			A3			0	3 24			.
				0		27
				0		27						16			8	11

									3	9
		1												0
		1							2		2			0
6. X			(B 3A)												.
6. X			(B 3A)												.
		2							5	1			2

									2	2
									2	2
				1		1								14	19
7. а)	ABC							; б)		ABC						.
					5	5								3 7
					5	5								3 7

1.4.2.Определители

1.Вычислить определители

																												3 3
а)		3 1		; б)		1 0			; в)		5	0		; г)	4		8	; д)	2 4		; е)			0 3		; ж)		3 3	;
а)		2 4		; б)		0 1			; в)		0	5		; г)	0		4	; д)	1 2		; е)			1 0		; ж)		2 4	;
з)	sin				cos			.
	sin				cos
		cos			sin
2.	С помощью правила треугольников вычислить определители
			2		3					4	1		8				2	3	4				2		3	1
		1	2		3					4	1		8				2	3	4				2		3	1
а)		1		2 4			; б)			0	3		2	; в)		1		2 1		;	г)	1			2	4	.
		0		3 1						8 1			0				1 2 4						0		1	3

3.Вычислить определители примера 2, используя теорему Лапласа.

4.Вычислить определители, предварительно упростив их:

	11040	11041	11041			1	1		3	x3 3	x 1
					1
					1

а)	11040	11041	11043	; б)	x2 1	x2 1	x2 1	; в)	3	x3 3	x 2	;
	11041	11042	11043		x3 1	x3 2	x3 3		3	x3 3	x 3
					x3 1	x3 2	x3 3		3	x3 3	x 3

	2	3	4	1		4	1	2	1		1	2 2	2			8	1	0	2
															4


																1
															4		2	1	0
	0	1 1 4				0	3 3 0				3	0 0	6
г)					; д)					; е)				; ж)	0 3		3	0	0	.
	0	0	7	2		4	2 2 2				2	2 1 0			4	2	2 2 0
	4	6	8	7		1	3	1	2
											0	4 2 1			3	5	0	2	2

5. Вычислить определитель методом приведения его к треугольному виду

			1	4	1
		2	1	4	1
		2	2	1	0		.
		2	1	3	2		.
		2	2	1		4
	2		1	2				3 0			1

6. Пусть даны матрицы	A 0		4	1		и		B	1	3	0	.
			2	0					4	0	1
	1		2	0					4	0	1

Доказать, что A B A B .

Ответы по теме «Определители»

1.а) 10; б) 1; в) 25; г) 16; д) 0; е) –3; ж) -6; з) 1.

2.а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.

3.а) –25; б) 168; в) 21; г) 12.

4.а) 2; б) 0; в) 0; г) 70; д) 18; е) –66; ж) -36.

5.–24.

1.4.3.Обратная матрица

1.Найти обратную матрицу:

а) A 8 ; б)				1		0	; в)			4 0					2 1	;
а) A 8 ; б)			A				; в)		A	; г)			A			;

					0 1					0 8				2 4
		8 2				0 4				1		0	0			4	0	0
		8 2		; е)		0 4								; з)		0			;
д) A				; е)	A				; ж)	A	0 1 0			; з)	A	0	4 0		;
	1 1					3 0					0	0				0	0
											0	0	1			0	0	8
	1 2			3			1 3 5							3 1		0
		1 2									; л) A
и)	A	1 2		4 ; к)		A		2 0		4	; л) A			1	2 1 ;
		0 3 1						0 3		2				0	1	3

	1	2	3				1	0 0
	1	2	3
					A		0 x 2 0		.
м)	A 2 4 6			; н)	A		0 x 2 0		.
	0 3 1
	0 3 1						0	0 x 2
2.	Найти	обратную					матрицу		и проверить выполнение условия
A 1 A A A 1 E :
	4	1				2	4	0
	4	1
			; б) A			0 8 1 .
а) A			; б) A			0 8 1 .
	2	3				2 0
						2 0		3

3.	Доказать равенство ( A B) 1 B 1													A 1 :
			1 4				2 8					2 0 1							3 1 0
			1 4				2 8
а)					,					; б) A		2 4 1				, B			0 8 2 .
а)	A				,	B				; б) A		2 4 1				, B			0 8 2 .
	1 8						1 5					0 3 6							1 3 0
												0 3 6							1 3 0
4.	Доказать равенство ( A 1 )T ( AT ) 1 :
			4	1				6		4	0
			4	1
					; б) A		0 8 1 .
а) A					; б) A		0 8 1 .
			0	2					0	7
									0	7	1
						Ответы по теме «Обратная матрица»
															1						2	1
				1						1	0					0
																0
		1						1					1		4					1	5	10
1. а) A		1				; б)		1				A	1		4				A	1	5	10
1. а) A						; б)	A				; в)	A						; г)	A		1		;
				8						0 1						1					1	1
															0
															0							5
																	8				5	5

		1	1
						0
		6	3			0
д)	A 1	6	3	; е)	A 1
		1	4			1

			3
	6		3		4

3 ; ж)

						1
							0 0
						4	0 0
1		0	0			4	1
							1
A 1	0 1 0			; з)	A 1	0		0	;
A 1	0 1 0			; з)	A 1	0	4	0	;
	0	0	1				4
								1
						0	0	1

								8
								8

		14			11		2						2	3			2

		25			25		25						5	10			5
		25			25		25						5	10			5
			1		1		7					2		1			7
и)	A 1							; к) A 1											;
и)	A 1	25			25		25	; к) A 1				15		15	15				;
		25			25		25					15		15	15
			3		3		4						1	1			1

					25		25						5	10			5
	25				25		25						5	10			5


			5		1	1
															0			0
		12			4	12
		12			4	12								1
л)	A 1		1	3		1	; м)		A	0	; н) A 1			0	1			0		.
			1	3		1									1

			4	4		4										x2
			4	4		4										x2
			1		1	5												1
			1		1	5												1
														0	0
														0	0				x2
			12		4	12													x2

						3		3	1
	3		1
						5	10		10
						5	10		10
						1		3		1	.
	10		10
2. а) A 1	10		10		; б) A 1
2. а) A 1					; б) A 1
		1		2		20		20	20


	5		5			2		1	2

						5		5	5
						5		5	5

								1												5																			7
						2																	4														6
						2																	4														6
3. а) A 1						1							, B 1							2						, ( A B) 1 B 1 A 1 =													2		;
						1					1																										5	3
																				1
																				1
					4						4													1


																				2																	4	4
														7					1				1												3								1
																																						0
																																						0
														16					16				12											10							10
																1			1																1								3
б)							A 1																0				,					B 1						0							,
б)							A 1									4			4				0				,					B 1		10				0			10				,
																4			4															10							10
																1			1				1													2		1					6

																8			8																	5		2					5
																8			8					6												5		2					5
								23									1			1


								160								160			120
								1									7			7
( A B) 1 B 1 A 1 =																							.
( A B) 1 B 1 A 1 =																							.
							160							160					120
									1									3			7
								10									10
								10									10			30
					1			1														1																1
																							0							4	0										0
																							0																		0
4. а) A 1 4										8 , ( A 1 )T												4					,					, ( AT ) 1						4						;
4. а) A 1 4										8 , ( A 1 )T												4					,	AT				, ( AT ) 1						4						;
								1														1	1								2							1			1
								1														1	1							1	2							1			1
				0
				0																		8																8
									2													8			2													8				2
																													1
						1						2		2																0	0
						1						2		2																0	0
																													6									6		0			0

					6							3			3
					6							3			3														2
б)		A 1 0									1 1 ,									( A 1 )T										1	7		,	AT				4		8 7					,
б)		A 1 0									1 1 ,									( A 1 )T									3	1	7		,	AT				4		8 7					,
						0			7					8															3									0

																													2											1 1
																													2	1	8

																													3
																													3
	1
				0		0
				0		0
	6
	2
( AT ) 1	2			1 7				.
( AT ) 1				1 7				.
	3
	2
	2		1			8
	3		1			8
	3

1.5. Системы линейных алгебраических уравнений

1.5.1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений (ЛАУ). Решение системы ЛАУ матричным способом

Системой

линейных

алгебраических

уравнений с n неизвестными

x1, x2 , ..., xn

называется система вида

a11x1

a12 x2

... a1n xn

b1 ,

a22 x2

... a2n xn

b2 ,

a21x1

..............................................

(1.7)

... a

b .

Данная система может быть записана в матричном виде

АХ = В,

(1.8)

...a

где А =

– матрица системы (1.7) или матрица коэффициентов;

................

...a

– матрица-столбец неизвестных; В =

Х =

– матрица-столбец свобод-

ных членов.

Если В = О, то система (1.7) называется однородной, если В ≠ О, то неод-

нородной.

Решением

системы

(1.7)

называется

такая совокупность

чисел

x1 1 , x2

2 , ..., xn

n ,

которая,

будучи подставленной в систему,

превра-

щает каждое уравнение системы в верное равенство. Система (1.7) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений. Совместная система может иметь или единственное решение, или бесконечное множество решений.

Например:

Система x1 x2 5, – несовместная система (нет решений).

x1 x2 7.

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.02.20163.15 Mб315Учебник КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ 1часть.doc
#
17.11.201981.16 Кб10Учебник по 2ин.яз для ЗФО (1).docx
#
20.02.2016876.25 Кб2467Учебник по Истории.pdf
#
14.08.2019803.33 Кб49Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб70Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб26УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб204Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб134Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб3учебное пособие по дел док 1 (книга).doc