При А ≠ 0, В ≠ 0, |
С ≠ 0, D ≠ 0 из обще- |
|
|
|
|
|
|||
го уравнения плоскости (5.25) получается |
|
|
||
уравнение плоскости в отрезках, если по- |
|
|
||
ложить a = −D A, |
b = −D B , |
c = −D C . |
|
|
Отрезки а, b, с, отсекаемые плоскостью на |
|
|
||
осях координат, удобно использовать при |
|
|
||
построении плоскости. |
|
|
|
|
5.2.7. Уравнение плоскости, прохо- |
|
Рис. 5.4 |
||
дящей через три данные точки |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть точки М1 = (х1, у1, z1 ), |
М 2 = (х2 , у2 , z2 ) , |
М3 = (х3 , у3 , z3 ) не |
||
лежат наодной прямой, т.е. условие(5.19) невыполняется. Тогда уравнение плоскости Р, проходящей через точки М1, М2 и М3, имеет вид:
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
y − y1 |
z − z1 |
|
|
||
|
|
||||
y2 |
− y1 |
z2 |
− z1 |
= 0. |
(5.27) |
y3 |
− y1 |
z3 |
− z1 |
|
|
5.2.8. Нормальное уравнение плоскости
Если обе части уравнения (5.25) умножить на нормирующий
множитель λ = ±1
А2 + В2 +С2 , выбирая знак перед радикалом из
условия λ D < 0 (в случае, когда D = 0, знак выбирается произвольно), то получится нормальное уравнение плоскости
x cosα + y cos β + z cosγ – р = 0. |
(5.28) |
Здесь направляющие косинусы cosα, cos β и cosγ |
есть коор- |
динаты единичного вектора нормали no = (cosα,cos β,cosγ) , прове-
денного к плоскости Р из начала координат. Каждое общее уравнение плоскости может быть приведено к нормальному виду, причем
cosα = |
|
|
A |
|
|
, |
|
cos β = |
|
|
B |
|
|
, |
||||||
± |
|
|
|
|
|
|
|
|
± |
|
|
|
|
|||||||
|
А2 + В2 +С2 |
|
|
А2 + В2 +С2 |
||||||||||||||||
cosγ = |
|
|
|
C |
, |
p = |
|
|
D |
(знак перед радика- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
± |
А2 + В2 +С2 |
± А2 + В2 +С2 |
||||||||||||||||||
лом выбирается так, чтобы выполнялось неравенство р ≥ 0).
71
5.2.9. Расстояние от точки до плоскости
Пусть плоскость Р задана уравнением (5.28) и дана точка Мо = (хо, уо, zо), лежащая вне этой плоскости. Тогда расстояние α от точки Мо до плоскости Р находится по формуле
d = |
|
xо cosα + yо cos β + zо cosγ – р |
|
. |
(5.29) |
|
|
Если плоскость Р задана уравнением (5.25), то расстояние d вычисляется по формуле
d = |
|
Ахo + Вуo +Сzo + D |
|
|
. |
(5.30) |
||
|
|
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
А2 + В2 +С2 |
|
||||
5.2.10. Взаимное расположение двух плоскостей
Углом между плоскостями, заданными уравнениями А1х + В1у +
С1z +D1=0 и А2х + В 2у + С 2z + D2=0, называется угол φ между их
нормальными векторами n1 = (A1, B1,C1) и n2 = (A2 , B2 ,C2 ) . Для нахождения этого угла используют формулу
|
cosφ = cos( |
|
, |
|
) = |
|
( |
n1 |
, |
n2 |
) |
= |
|
|
|
|
A1 A2 + B1B2 +C1C2 |
|
|
. (5.31) |
||||||||||||||||||
|
n |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
A2 |
+ B2 +C2 |
A2 |
+ B2 |
+C2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
||||||
Если |
|
выполняется |
|
условие |
А1 А2 + В1В2 +С1С2 |
= 0, |
то плоскости |
|||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярны. При |
|
|
|
A1 |
|
= |
B1 |
|
= |
C1 |
≠ |
D1 |
плоскости параллельны, а |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
C |
2 |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
A1 |
|
|
|
B1 |
= C1 |
|
|
D1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
если |
|
|
= |
|
= |
|
, то плоскости сливаются в одну – совпадают. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
B |
|
C |
2 |
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.2.11. Общие уравнения прямой
Всякую прямую L в пространстве может рассматривать как линию пересечения двух плоскостей Р1 и Р2, заданных своими общими уравнениями. Уравнения
A x + B y +C z + D |
= 0 |
(5.32) |
|||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
A1x + B1 y +С1z + D1 = 0, |
|
||||
где числа А1, В1, С1 и А2, В2, С2 не пропорциональны, называются общими уравнениями прямой L. Направляющий вектор S = (m, n, p) этой прямой может быть найден по формуле
72
|
|
B |
C |
, |
A |
C |
, |
A |
B |
|
(5.33) |
||
|
|||||||||||||
S = |
1 |
C |
1 |
1 |
C |
1 |
1 |
1 |
. |
||||
|
|
B |
2 |
|
A |
2 |
|
A |
B |
|
|
||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
||
Выбирая любое решение М0 = (х0 , у0 , z0 ) системы (5.32) получаем точку М0 L и, следовательно, можем записать канонические уравнения прямой L вида (5.17).
5.2.12. Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая L задана уравнениями (5.17), а плоскость Р – урав-
нением (5.25). Углом между прямой L и плоскостью Р называется угол φ, образованный прямой L и ее проекцией на плоскость Р. Для вычисления угла φ используется формула
sinφ = |
|
( |
n |
, |
|
S |
) |
|
= |
|
|
Am + Bn +Cp |
|
|
|
|
. |
(5.33) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n |
S |
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 m2 + n2 |
+ p2 |
|
||||||||||
Если выполняется равенство
Аm + Bn + Ср = 0, (5.34)
то прямая L и плоскость Р параллельны. Если же справедливы соотношения
A |
= |
B |
= |
C |
, |
(5.35) |
|
m |
n |
p |
|||||
|
|
|
|
то прямая L и плоскость Р перпендикулярны.
Если условие (5.34) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в единственной точке М1 = (х1, у1, z1). Координаты этой точки найдутся из равенств:
|
х |
= х |
+ mt |
|
|
|
1 |
о |
|
1 |
|
|
у1 = уо + nt1 |
(5.36) |
|||
z |
= z |
о |
+ рt |
, |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
где t1 есть то единственное значение параметра t, при котором прямая L и плоскость Р пересекаются:
t1 = Axo + Byo +Czo + D .
Am + Bn +Cp
Если Аm + Вn + Ср = 0 и Ахо + Вуо + Сzо + D ≠ 0, то прямая L и плоскость Р параллельны (они не пересекаются ни при одном значении t).
Если Аm+ Вn + Ср = 0 , Ахо + Вуо + Сzо + D= 0, то прямая L лежит на плоскости Р (они имеютбесчисленноемножествоточек пересечения).
73