5.3. Гиперплоскость в пространстве Rn

Множество точек пространства Rn , координаты которых удовлетворяют векторному уравнению

называется гиперплоскостью пространства Rn. Здесь а = (а1, а2 , , аn ) , x = (x1, x2 , , xn ) ; аi, i = 0, 1, …, n– действительные числа, n > 3. При

n = 2 уравнение (5.37) задает прямую на плоскости R2 , при n = 3 – плоскость в пространстве R3 . Если ао = 0, то гиперплоскость прохо-

дит через начало координат. Гиперплоскость (5.37) пересекает ось координат Охi в точке Аi = (0, 0,…, ао аi , 0,…, 0). Если аi = 0, то гипер-

плоскость Охi не пересекает. Частным случаем уравнения (5.37) является линейное уравнение хi = 0. В n-мерном пространстве оно опре-

деляет координатную гиперплоскость.

Пусть имеются две гиперплоскости Г1 и Г2, заданные уравнениями (а,х) = ао и (b,х) = bо соответственно.

плоскости Г1 и Г2 параллельны.

Пересечением гиперплоскостей Г1 и Г2 называется множество решений системы

Если система (5.38) совместна, то гиперплоскости пересекаются.

74

Если rang А =1 и a ≠ b , то rang ≠ rang ~ = 2 и система (5.38)

0 0 A A

несовместна, т.е. гиперплоскости параллельны. При rang = rang ~ =1

A A

система совместна и гиперплоскости совпадают. Если рассматривать

системы, получим общие уравнения прямой в пространстве Rn .

5.4. Выпуклые множества

Пусть заданы две несовпадающие точки M ′ = (x1′, x2′, , xn′) и M ′′ = (x1′′, x2′′, , xn′′) пространства Rn . Обозначим через r' и r" – ради- ус-векторы точек M ′и M ′′ соответственно.

Отрезком n-мерного пространства, соединяющим точки M ′и M ′′, называется множество точек M = (x1, x2 , , xn ) этого простран-

где параметр t принимает значения от нуля до единицы, t [0,1].

Множество А Rn называется выпуклым, если для любых т очек M ′, M ′′, M ′ А, M ′′ А, отрезок, соединяющий эти точки, также принадлежит множеству А. Пустое множество по определению считается выпуклым.

Справедлива теорема: пересечение выпуклых множеств является выпуклым множеством.

В n-мерном пространстве примерами выпуклых множеств могут служить отрезок, гиперплоскость и само пространство Rn.

Точка М0 называется внутренней точкой данного выпуклого

множества А, если существует окрестность этой точки, в которой с о- держатся только точки множества А. Точка M ′называется граничной точкой данного выпуклого множества А, если в любой сколь угодно малой окрестности этой точки содержатся как точки множества А, так и точки, не принадлежащие множеству А. Точка M ′′называется угловой точкой выпуклого множества А, если она является граничной и не лежит внутри отрезка, соединяющего любые две точки области. При n = 2 внутренние, граничные и угловые точки показаны на рис. 5.5.

75

Координаты точек L, M, N, которым являются серединами отрезков АК, ВК и СК соответственно, определим по формулам (5.3) деления отрезка пополам:

Рис. 5.6

Пример 5.3. Даны две смежные вершины А(2; 5) и B(5; 3) параллелограмма АВСD и точка М (−2; 0) пересечения его диагоналей. Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

Решение. Для вершины А противоположной является вершина С, для В – вершина D. Точка М делит отрезки АС и ВD пополам (рис. 5.7) Поэтому координаты точек С и D можно найти, воспользовавшись

77

Зная теперь координаты всех вершин параллелограмма и воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две данные точки

78