5.1.10. Точка пересечения двух прямых

Пусть две прямые заданы уравнениями А1х + В1 у +С1 = 0 и А2 х +В2 у +С2 = 0. Для нахождения точки М1 = (х1, у1 ) их пересечения необходимо решить систему уравнений:

Если А1 ≠ В1 , то система (5.16) имеет единственное решение

А2 В2

Если А1 = В1 = С1 , то система (5.16) неопределенная и совмест-

А2 В2 С2

ная (имеет бесчисленное множество решений). В этом случае две прямые сливаются в одну.

Если А1 = В1 ≠ С1 , то система (5.16) несовместна, а прямые L1 и

А2 В2 С2

L2 параллельны, следовательно, не имеют точек пересечения.

5.2. Прямая и плоскость в пространстве

5.2.1. Канонические уравнения прямой

Прямая L в пространстве определяется однозначно, если известны точка М0 = (х0 , у0 , z0 ), принадлежащая прямой и ненулевой вектор

S= (m, n, p) , параллельный прямой (направляющий вектор). Уравнения

называются каноническими уравнениями прямой.

67

5.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две данные

точки

Прямая L в пространстве определяется однозначно, если известны две различные точки М1 = (х1, у1, z1 ) и М 2 = (х2 , у2 , z2 ) (М1М2 ≠ 0), лежащие на этой прямой. В этом случае прямая L задается уравнениями

Если точка М3 = (х3 , у3 , z3 ) лежит на прямой, определяемой урав-

нениями (5.18), то выполняются условия принадлежности трех точек одной прямой:

5.2.3. Векторное и параметрические уравнения прямой

Если известны точка М0 = (х0 , у0 , z0 ), принадлежащая прямой L, и ее направляющий вектор S = (m, n, p) , то обозначая через М = (х, у, z)

произвольную точку прямой, через ro и r радиус-векторы точек Мо и М соответственно, получаем векторное уравнение прямой

Используя коллинеарность векторов S и MoM , заключаем, что ro = ro +tS (векторное параметрическое уравнение прямой), или

− параметрические уравнения прямой. В уравнениях (5.21) параметр t «пробегает» все действительные значения.

5.2.4. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых

Углом между двумя прямыми L1 и L2 с уравнениями

68

является необходимым и достаточным условием нахождения двух прямых в одной плоскости (условие компланарности двух прямых). Если выполняется условие (5.23) и не выполняется условие параллельности прямых L1 и L2, то прямые L1 и L2 пересекаются.

5.2.5. Общее уравнение плоскости

Плоскость Р в пространстве определяется однозначно, если известны точка М0 = (х0 , у0 , z0 ), принадлежащая плоскости и ненулевой

вектор n = (A, B,C) , перпендикулярный этой плоскости (нормальный вектор плоскости или вектор нормали). Пусть D = – Ахо – Вуо −Сzо , −

произвольная точка плоскости Р, ro и r радиус-векторы точек М и

называется векторным уравнением плоскости Р. Из (5.24) следует уравнение плоскости в координатной форме

А(х – хо )+ В(у – уо )+С(z – zо )= 0.

69

Обозначая D = – Ахо – Вуо −Сzо , получаем общее уравнение плоскости Р с нормальным вектором n = (A, B,C) :

А2 + В2 +С2 ≠ 0 задает в пространстве некоторую плоскость.

Частные случаи:

1.А = 0, В ≠ 0, С ≠ 0, D ≠ 0. Плоскость, определяемая уравнением (5.25) параллельна оси Ох.

2.В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0, D ≠ 0. Плоскость параллельна оси Оу.

3. С = 0, А ≠ 0, В ≠ 0, D ≠ 0. Плоскость параллельна оси Оz.

4.D = 0, А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0. Плоскость проходит через начало координат.

5.А = В = 0, С ≠ 0, D ≠ 0. Плоскость перпендикулярна оси Оz (па-

раллельна плоскости хОу).

6.А = С = 0, В ≠ 0, D ≠ 0. Плоскость перпендикулярна оси Оу (параллельна плоскости хОz).

7.В = С = 0, А ≠ 0, D ≠ 0. Плоскость перпендикулярна оси Ох (па-

раллельна плоскости уОz).

8.А = D = 0, В ≠ 0, С ≠ 0. Плоскость проходит через ось Ох.

9.В = D = 0, А ≠ 0, С ≠ 0. Плоскость проходит через ось Ох.

10. С = D = 0, А ≠ 0, В ≠ 0. Плоскость проходит через ось Оz.

11. А = В = D = 0, С ≠ 0. Плоскость совпадает с плоскостью хОу

(z = 0).

12.А = С = D = 0, С ≠ 0. Плоскость совпадает с плоскостьюхОz (у = 0).

13.В = С = D = 0, А ≠ 0. Плоскость совпадает с плоскостью уОz (х= 0).

5.2.6. Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость Р, пересекающая ось Ох в точке (а, 0, 0), ось Оу в точке (0, b, 0) и ось Оz в точке (0, 0, с), имеет уравнение

Уравнение (5.26) называется уравнением плоскости в отрезках.

70