т.к. первая и третья строки определителя пропорциональны.

2. Системы векторов

1.В каком случае вектор b называется линейной комбинацией m векторов n-мерного пространства a1, a2 , , am с коэффициентами линейной комбинации λ1, λ2 , , λm ? Приведите пример.

2.Какая система m векторов n-мерного пространства называется линейно зависимой; линейно независимой?

3.Запомните следующие простейшие свойства линейной зависимости (с их доказательством можно ознакомиться в учебнике):

а) если среди векторов системы есть нулевой, то она линейно зависима;

б) если r векторов системы из m векторов (r < m) линейно зави-

симы, то и вся система линейно зависима; в) любая подсистема линейно независимой системы является линейно независимой;

г) для того, чтобы система a1, a2 , , am была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов лине й- но выражался через остальные; д) диагональная система векторов линейно независима;

е) система единичных векторов n-мерного пространства линейно независима;

137

ж) любой вектор n-мерного пространства является комбинацией единичных векторов этого пространства.

4.Дайте определение базиса (максимальной линейно-независимой подсистемы) данной системы векторов.

5.Могут ли два различных базиса одной и той же системы содержать разное количество векторов?

6.Что называется рангом системы векторов?

7.Что называется базисом n-мерного векторного пространства?

8.Сформулируйте теорему о разложении любого вектора a

b1, b2 , , be называются эквивалентными?

11.Совпадают ли ранги эквивалентных систем векторов?

12.Какие преобразования системы векторов называются эквивалентными?

13.Запомните следующие преобразования системы векторов, которые являются эквивалентными:

а) изменение нумерации векторов; б) удаление нулевого вектора;

в) удаление линейной комбинации векторов; г) умножение произвольного вектора системы на число α ≠ 0 ;

д) прибавление к одному из векторов системы линейной комбинации остальных векторов системы.

14.Какая система n векторов a1, a2 , , an n-мерного евклидова пространства называется ортогональной?

15.Образует ли ортогональная система из n векторов базис n-мерного пространства?

16.Сформулируйте определение ортогонального и ортонормированного базиса евклидового пространства.

138

2.Являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми и

почему?

а) a1 =(1; 2; 3; 0), a2 =(0; 0; 0; 0), (−1; 5; 8; 7), a4 =(1; 1; −1; −1)?a3 =

4.Приведите пример ортогонального базиса двумерного евклидова пространства.

5.Докажите, что векторы a1 = (1; 2; 5), a2 = (0; 3; 5), a3 = (0; 1; 2)

являются линейно независимыми.

Решение тренировочного задания 2

1.Линейной комбинацией векторов a1, a2 , , am с коэффициентами

λ1, λ2 , , λm называется вектор a = λ1 a1 +λ2 a2 + +λm am . В нашем случае

a = 2 a1 +1 a2 −1 a3 −1 a4 = 2 (3;1;0;2)+(4;0;2;3)−

–(0;1;0;2)– (10;1;2;5)= (0;0;0;0)= 0. Векторы a1, a2 , a3 , a4 явля-

139

ются линейно зависимыми, так как существует ненулевая линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

2.а) да, так как система a1, a2 , a3 содержит нулевой вектор;

нейно выражается через остальные; г) нет, данная система векторов линейно независима, так как является диагональной;

д) нет, так как данная система векторов является системой единичных векторов трехмерного пространства и поэтому линейно независима.

3.Разложить вектор a по векторам a1 и a2 означает найти такие

числа λ 1 и λ2 , для которых a = λ1 a1 +λ2 a2 . Подставляя вместо

нальны и поэтому являются базисом двумерного пространства.

5.Предположим, что векторы векторов a1 , a2 , a3 линейно зависимые, т.е. существуют такие числа λ1 , λ2 , λ3 , не все равные нулю, что

λ1a1 +λ2a2 +λ3a3 = 0. Тогда λ1(1;3;5)+λ2 (0;3;5)+λ3 (0;1;2)= (0;0;0) или

(λ1 +0·λ2 +0·λ3; 3λ1 +3λ2 +λ3; 5λ1 +5λ2 +2λ3 )= (0;0;0). Из условия равенства векторов получим

140

λ1 +0λ2 +0λ3 = 0 ,3λ1 +3λ2 +λ3 = 0 ,5λ1 +5λ2 + 2λ3 = 0 ,

откуда λ1 = 0 – из первого уравнения, а два других примут вид

Координаты X, Y, Z вектора a{1; 4; 6} в этом базисе должны удовлетворять равенству Xe1 +Ye2 + Ze3 = a , или в матричной записи

Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений

Решив эту систему, найдём X = 2, Y = 1, Z = 1. Таким образом, a = 2e1 +e2 +e3 .

141