Вопросы для повторения и тренировочные задания

Во второй части пособия дается краткий перечень вопросов, обязательных для повторения основных теоретических положений по каждому разделу, которые помогают усвоить необходимый материал. Приведенные после этого тренировочные задания стимулируют закрепление навыков оперирования соответствующим математическим аппаратом и более глубокое понимание основных понятий линейной алгебры и математического анализа.

1.Многомерное арифметическое пространство

1.Что называется связанным вектором и как он обозначается?

2.Что называется длиной или модулем связанного вектора?

3.Какие ненулевые векторы называются сонаправленными; противо-

положно направленными; эквивалентными?

4.Дайте определение свободного вектора или просто вектора.

5.Какие векторы называются коллинеарными; ортогональными?

6.Дайте определение n-мерного вектора и его координат.

7.Приведите пример n-мерного вектора, используемого в экономике.

8.Какие два n-мерных вектора называются равными?

9. Что называется суммой двух векторов a = (a1, a2 , ..., an ) и

b= (b1, b2 , ..., bn ) ?

10.Что называется произведением вектора a = (a1, a2 , ..., an ) на число λ?

11.Перечислите свойства линейных операций над n-мерными векторами.

12.Дайте определение n-мерного арифметического векторного пространства.

13.Сформулируйте необходимое и достаточное условие коллинеарности n-мерных векторов, заданных координатами.

14. Как вычисляется скалярное произведение n-мерных векторов

a= (a1, a2 , ..., an ) и b = (b1, b2 , ..., bn ) ?

15.Запишите формулу для вычисления модуля (длины) n-мерного вектора a = (a1, a2 , ..., an ) .

132

16.Запишите формулу для определения угла между n-мерными векторами a и b .

17.Запишите формулу для нахождения расстояния между точками A(x1, x2 , , xn ) и B(y1, y2 , , yn ) n-мерного пространства.

18.Перечислите свойства скалярного произведения.

19.Дайте определение евклидова пространства.

Тренировочное задание 1

1. Найти вектор a , коллинеарный вектору x ={2,1,−2}и удовлетворяющий условию: скалярное произведение векторов x a = 27 .

2. Вычислить проекцию вектора a на направление вектора b + c , ес-

ненулевой вектор b , ортогональный вектору a .

x x λ = 27, λ x 2 = 27, λ 22 +12 +(−2)2 = 27, 9λ = 27, λ = 3.

Следовательно a = 3 x ={6,3,−6}.

2. Обозначим b + c = d , тогда d ={2,−3,6}

133

= cos = np , отсюда a d a d a d d d a

3. Площадь параллелограмма, построенного на двух векторах, равна модулю их векторного произведения. Напомним, что векторное

произведение двух векторов a ={x1, y1, z1}и b ={x2 , y2 , z2 } равно:

4. Скалярное произведение n-мерных векторов a = (a1, a2 , , an ) и

b = (b1, b2 , , bn ) находим по формуле a b = a1b1 +a2b2 + + anbn .

Если a = (1; - 1; 3; 2), b = (2; 2; 1; - 4), то

a b =1 2 +(−1) 2 +3 1+ + 2 (−1)= 2 – 2 +3 – 2 =1.

Длину n-мерного вектора a = (a1, a2 , , an ) вычисляем по формуле

a = a12 +a22 + +an2 .

134

Тогда a = 12 +(−1)2 +32 +22 = 1+1+9 +4 = 15 ; b = 22 +22 +12 +(−1)2 = 4 +4 +1+1 = 10 .

Угол между n-мерными векторами a и b находим по формуле:

5.а) Расстояние между точками A и B

ρ(A, B)= (0 −(−2))2 +(−1−1)2 +(2 −3)2 = 4 + 4 +1 = 3 ;

б) угол В в треугольнике АВС есть угол между векторами BA и

Направляющими косинусами вектора AB являются 2/3, –2/3, –1/3.

135

6.Так как условие ортогональности векторов a и b имеет вид

векторах AB, AС и AD , равен одной

шестой модуля смешанного произведения этих векторов.

V = 16 AB AС AD илиV = 13 SABC h, где h – высота пирамиды, а площадь прямоугольника, построенного на векторах AB и AС равна половине их векторного произведения: SABC = 12 AB×AC . Вычислим смешанное произведение векторов

Вычислим векторное произведение векторов:

136