Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебно-прктич. пособие по матем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.02.2016

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3837 38 > Следующая >>>

1з) lim(	2n +1)n . Здесь основание степени	2n +1	→ 2, если	n → ∞,
n→∞	n +1	n

значит, 2∞ не есть неопределенность, а бесконечно большая величина:

lim(2n +1)n = ∞.

n→∞ n +1

= lim

(

n4 +n −

n2 )(

n4 +n +n2 )n

1и) lim( n4

+n −n2 )n =[0 ∞]

n→∞

n4 +n +n2

(n4 +n −n4 )n

∞

lim

= lim

n→∞

n4 +n

+n2

n→∞

n4 +n +n2

∞

n→∞

n4 +n

+n2

1 .

lim

= lim

n→∞

n4 +n

n→∞ 1

7. Предел и непрерывность функции.

1.Дайте определение функции одной независимой переменной.

2.Что называется графиком функции?

3.Какая функция называется обратной к функции f ?

4.Какие способы задания функции Вам известны?

5.Перечислите основные элементарные функции. Приведите примеры.

6.Какая функция называется четной, нечетной, периодической, возрастающей, убывающей, монотонной, ограниченной сверху (снизу)? Приведите примеры.

7.Приведите примеры функциональных зависимостей, используемых в экономике.

8.Какая точка x0 называется предельной точкой множества X ?

9.Дайте определение предела функции в точке x0 на языке последо- ватель-ностей (по Гейне) и на языке "ε -δ" ( по Коши ).

10.Как обозначаются пределы функции в точке x0 справа и слева?

11.Дайте определение предела функции на бесконечности.

12.Сформулируйте известные Вам теоремы о пределах функций.

13.Запишите первый и второй замечательные пределы.

172

14.Дайте определение бесконечно малой и бесконечно большой функций и приведите примеры.

15.Какая связь существует между бесконечно малой в точке x0

функцией и бесконечно большой в точке x0 функцией?

16.Какие бесконечно малые функции называются: эквивалентными; одного порядка; более высокого порядка; более низкого порядка; несравнимыми? Приведите примеры.

17.Какие виды неопределенностей Вы знаете?

18.Дайте определение непрерывности функции в точке x0 .

19.Приведите примеры функций, непрерывных в точке x0 слева;

справа; непрерывных в точке x0 .

20.Запишите определение непрерывности функции в точке x0 , сформулированное в терминах приращений ∆x и ∆y .

21.Сформулируйте теорему об арифметических действиях над непрерывными функциями.

22.Сформулируйте теорему о непрерывности сложной функции о непрерывности обратной функции.

23.Сформулируйте теорему о непрерывности элементарных функций.

24. Какая точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции

f(x) ?

25.Какая точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f (x) ?

26.Перечислите свойства функций, непрерывных на отрезке.

27.Сформулируйте отрицания двух определений предела функции в точке.

Тренировочное задание № 7.

Найти пределы функций, не применяя правило Лопиталя:

а) lim	2x2	+7x −9		;	б) lim	2x2	+7x −9		;
	x2	+ x	−2			x2	+ x	−2
x→2					x→1

в) lim	2x2 +7x −9	г) lim	2x2	+7x −9		;
	x2 + x −2		x2	+ x	−2
x→∞		x→−2

173

д) lim

;

е) lim(

x2 −1 − x2 +1) ;

x→0

x +4 −2

x→∞

1+ x2 −

−cos 2x

ж) lim

+ x

;

з) lim

;

x→0

1− 1

+ x

x→0

и) lim sin 4x ;

к) lim

xtgx

;

1−cos x

x→0

tg7x

x→0

л) lim

1−2sin x

;

м) lim

sin 2x

;

x→π

− x

x→0

1−cos x

)3x+2

н) lim(

;

о) lim(cos x)

;

x −1

x→∞

x→0

2. Исследовать на непрерывность функцию y = f (x) и указать характер точек разрыва, если они существуют:

а) f (x) =		1		;		б) f (x) = x2 +2x −4;
а) f (x) =	x −4			;		б) f (x) = x2 +2x −4;
	x −4
в) f (x) =		1			;	г) f (x) =	sin x
в) f (x) =			1		;	г) f (x) =	x
1		+2x					x
1		+2x
Решение тренировочного задания № 7.

1. а) lim

2x2

+7x −9

. Применяя теорему о пределе частного, получим:

+ x −2

x→2

lim

2x2 +7x −9

lim(2x2

+7x −9)

2 22 +7 2 −9

;

x2 + x −2

x→2

lim(x2

+ x −2)

22 + 2 −2

x→2

б) lim

2x2 +7x −9

. Здесь предел знаменателя равен нулю, поэтому

x2 + x −2

x→1

теорему о пределе частного применить нельзя. Предел числителя тоже равен нулю, значит имеется неопределенность вида 00 . Для того,

174

чтобы раскрыть эту неопределенность, разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь формулой

где x1 Тогда

lim 2x

x→1 x

в) lim

x→∞

			ax2 +bx +c = a(x − x )(x − x				),
			1			2
и x2 −корни квадратного уравнения						ax2 +bx +c = 0.
			9
2 +7x −9 =		0	= lim	2(x −1)(x + 2)	= lim 2x +9 = 2 1+9 = 11;
2 +7x −9 =			= lim		= lim 2x +9 = 2 1+9 = 11;
2	+ x −2		x→1 (x −1)(x +2)			x→1 x +2		1+2	3
	+ x −2	0	x→1 (x −1)(x +2)			x→1 x +2		1+2	3
2x2 +7x −9		. Здесь числитель и знаменатель при x → ∞ стремят-
	x2 + x −2	. Здесь числитель и знаменатель при x → ∞ стремят-
	x2 + x −2

ся к бесконечности, поэтому теорему о пределе частного применить

нельзя.

Разделив числитель и

знаменатель

дроби на x2 , получим:

2x2 +7x −9

+ x

−

2 +0 −0 = 2.

lim

= lim

Здесь использовали тот

x2 + x −2

x→∞

1+0 −0

+ x

−

факт, что 7 ,

, 1 ,

− бесконечно малые функции при x → ∞.

г)

lim

2x2 +7x −9

= [

2 (−2)2 +7 (−2) −9 = −15 ]= ∞. Использовали

x→−2

x2 + x −2

(−2)2 −2 −2

теорему о том, что величина , обратная бесконечно малой функции, является бесконечно большой.

д)	lim	x		. В этом пределе знаменатель дроби – иррациональ-
д)	lim			. В этом пределе знаменатель дроби – иррациональ-
	x→0	x +4	−2

ное выражение, причем пределы числителя и знаменателя равны нулю при x → 0. Теорему о пределе частного применить нельзя. Для

раскрытия неопределенности 00 уничтожим иррациональность в

знаменателе, для чего умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю: (x + 4 + 2) . Получим

lim

= lim

x +4

+2)

= lim

x +4

+2)

x +4 −4

x→0

x +4 −2

x→0

(

x +4 −2)( x +4 +2)

x→0

175

= lim( x +4 +2) = 2 +2 = 4 .

x→0

е) lim(

x2 −1 −

x2 +1) = [∞−∞]=

x→∞

lim

( x2 −1 − x2 +1)( x2 −1 + x2 +1)

x→∞

x2 −1 + x2 +1

= lim

(x2 −1) −

(x2 +1)

= lim

−2

= 0 .

x→∞

−1 + x2 +1

x→∞

x2 −1

+ x2 +1

Поскольку

знаменатель дроби является бесконечно большой величи-

ной при

x → ∞,

а числитель −2 есть постоянная величина, то иско-

мый предел равен нулю.

1+ x2 −

ж) lim

1+ x

. Уничтожая иррациональность и в чис-

x→0

1− 1

+ x

лителе и в знаменателе,

сокращая числитель и знаменатель на x ,

применяя затем теорему о пределе частного, получим:

( 1+ x2 −

( 1+ x2 +

(1+

lim

1+ x)

(1−

(1+

)( 1

+ x2 +

x→0

1+ x)

1+ x

1+ x)

(1+ x2 −1− x)(1+

x(x −1)(1+

= lim

1+ x)

= −lim

1+ x)

(1−1

− x)( 1+ x2 +

x( 1+ x2 +

x→0

1+ x)

x→0

+ x)

(x −1)(1+

(−1)(1+1)

= lim

1+ x)

= −

=1;

1+1

1+ x2 +

x→0

1+ x

з) lim1−cos 2x .

Здесь пределы числителя и знаменателя равны ну-

x→0

лю, значит,

теорему о пределе частного применить нельзя. Поскольку

под знаком предела

тригонометрическая функция, то надо преобра-

зовать данное выражение и привести его к виду sin kx

, зная, что этот

176

предел lim

sin kx =1.

Применяя

тригонометрическую

→0

1−cos x = 2sin2

, получим

lim

1−cos 2x

= = lim

2sin2 x

2lim

sin x

lim

sin x

x→0

sin 4x

cos7x

sin 4x 4x cos7x

и) lim

tg7x

= lim

sin 7x

= lim

x→0

→0

x→0

sin 7x

lim sin 4x 4 limcos7x

1 4 1 4

x→0

1 7

= 7 ;

lim

sin 7x

x→0

xtgx

x sin x

x2sin

cos

к) lim

= lim

x→0

1−cos x

x→0

cos x(1−cos x)

→0

cos x2sin

cos

limcos

2 1 =

= lim

= 2

x→0

sin

1 1

cos x

limcos x lim

x→0

формулу

1 1 = 2;

177

л)

lim 1−2sin x =

. Здесь неопределенность

0 , для ее раскрытия

x→

− x

сделаем вначале замену π

− x = y ,

значит x =

− y . Если x →

, то

− y))

y → 0. Отсюда получим lim

1−2sin x

= lim

2 −sin(

x→π

− x

y→0

π −sin(

π − y)

sin

2sin

cos(

−

)

2lim

= 2lim

y→0

sin

limcos(π

2lim

−

) =

2 1

y→0

sin 2x

м) lim

= lim

x→0

1−cos x

x→0

2sin

x→0

sin x

lim sin 2x

x 2

→0

= ∞;

sin x

lim(

lim x

x 2

x→0

н)

lim(

)3x+2

. Здесь под знаком предела стоит показательная функ-

x −1

x→∞

ция, основание которой стремится к 1 ( lim

=1),

а показатель сте-

x→∞ x −1

пени – к бесконечности : lim(3x +2) = ∞. Значит, имеем неопределен-

x→∞

ность вида 1∞ , поэтому надо преобразовать данную функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел:

178

lim(1+ 1)x = e .Для этого в числителе вычтем и прибавим по единице

x→∞ x

и выделим целую часть:

x −1+1		3x+2			1 3x+2
lim			= lim 1	+
	x −1				x −1
x→∞			x→∞

		1	( x−1)	(3x+2)
				x−1
= lim 1	+				=
		x −1
x→∞

3x+2

lim 3x+2

)( x

x−1

= lim (1

−1)

= ex→∞ x−1 = e3;

x −1

x→∞

о) lim(cos x)

cos x−1

= lim(1+cos x −1)

= lim(1+(cos x −1))

cos x−1

) x2 =

x→0

sin

−2 lim(

)2 1

lim cos x−1

−2sin2

−1

lim

x→0 x

x→0

= e

x→0

= e

= e 2 =

2. а)

f (x) =

. Эта функция определена при всех x , за исключение

x −4

x = 4 . Найдем lim

= ∞ . Значит,

x = 4 ―

точка разрыва

x −4

второго рода;

x→4

б)

f (x) = x2 +2x −4 . Найдем приращение функции

∆y = f (x +∆x) − f (x) = (x +∆x)2 +2(x +∆x) −4 − x2 −2x + 4 =

= x2 +2x∆x +(∆x)2 +2x +2∆x − x2 −2x = 2x∆x +2∆x +(∆x)2 .

Теперь

lim ∆y = lim (2x∆x +2∆x +(∆x)2 ) = 0

при любом значении x .

∆x

→0

∆x→0

Значит, данная функция непрерывна при любом x (−∞;+∞).

в)

f (x) =

. Данная функция определена при всех x ≠ 0 . По-

1+2x

этому на (−∞;0)

и на (0;∞)

функция непрерывна, как элементарная.

В точке

x = 0

имеется разрыв.

Для установления характера точки

разрыва найдем односторонние пределы при x → −0 и при x → +0 :

f (+0) =	lim	1		1			1	= 0;
			=			=
		1	=		+∞	=
	x→+0	1+2x	1+2				∞

179

<<< < Предыдущая 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 3637 / 3837 38 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.08.2019803.33 Кб49Учебник по переводу 3 курс.doc
#
14.11.20192.4 Mб68Учебник.Основы растениеводства.doc
#
20.02.20162.05 Mб26УЧЕБНО-МЕТОДИЧ. ПОСОБИЕ ПО ВМ_1.pdf
#
20.02.201611.55 Mб204Учебно-методическое пособие (лекционная часть).doc
#
20.02.20162.31 Mб25Учебно-методическое пособие ВМ 2часть.pdf
#
20.02.20161.86 Mб29Учебно-прктич. пособие по матем.pdf
#
07.11.20182.12 Mб134Учебное пособие по охране труда.doc
#
15.11.2018458.75 Кб3учебное пособие по дел док 1 (книга).doc
#
20.02.2016319.49 Кб51Учебное пособие по Межд. Экон.doc
#
20.02.2016624.64 Кб117Учебное пособие.doc
#
14.07.2019101.89 Кб3УЧЕТ ВНЕШНЕЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦ....doc

7. Предел и непрерывность функции.

Тренировочное задание № 7.

Решение тренировочного задания № 7.