- •Введение
- •Общие рекомендации студенту по самостоятельной работе над математическими курсами
- •1.2. Арифметические векторы. Линейные операции над векторами. n-мерное арифметическое пространство
- •2. Системы векторов
- •2.1. Линейная зависимость векторов. Системы векторов.
- •2.3. Эквивалентные системы векторов
- •3.1. Матрицы. Основные определения
- •3.2. Операции над матрицами и их свойства
- •3.3. Определитель матрицы.
- •3.3.1. Определители второго порядка
- •3.3.2. Определители n-го порядка
- •3.3.3. Определители третьего порядка
- •3.3.4. Свойства определителей
- •3.4. Обратная матрица, ее свойства и вычисление
- •3.4.1. Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы
- •3.4.2. Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований ее строк.
- •3.5. Ранг матрицы
- •3.5.1. Понятие минора k-го порядка матрицы. Определение ранга матрицы
- •3.5.2. Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •3.5.3. Понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы. Другое определение ранга матрицы
- •4. Системы линейных алгебраических уравнений
- •4.1. Основные понятия
- •5. Геометрия пространства Rn
- •5.1. Прямые в R2
- •5.1.1. Уравнение линии на плоскости R2
- •5.1.2. Общее уравнение прямой
- •5.1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •5.1.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
- •в заданном направлении. Уравнение пучка прямых
- •5.1.6. Уравнение прямой в отрезках
- •5.1.7. Нормальное уравнение прямой
- •5.1.8. Расстояние от точки до прямой
- •5.1.9. Угол между прямыми. Условия параллельности
- •и перпендикулярности двух прямых
- •5.1.10. Точка пересечения двух прямых
- •5.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •5.2.1. Канонические уравнения прямой
- •5.2.3. Векторное и параметрические уравнения прямой
- •5.2.4. Угол между прямыми. Взаимное расположение двух прямых
- •5.2.5. Общее уравнение плоскости
- •5.2.6. Уравнение плоскости в отрезках
- •5.2.8. Нормальное уравнение плоскости
- •5.2.9. Расстояние от точки до плоскости
- •5.2.10. Взаимное расположение двух плоскостей
- •5.2.11. Общие уравнения прямой
- •5.2.12. Взаимное расположение прямой и плоскости
- •5.3. Гиперплоскость в пространстве Rn
- •5.4. Выпуклые множества
- •6. Теория пределов последовательностей
- •6.1. Числовые последовательности
- •6.1.3. Свойства бесконечно малых последовательностей.
- •6.2. Сходящиеся последовательности
- •6.2.1. Определение предела последовательности.
- •6.2.2. Свойства сходящихся последовательностей.
- •7. Предел и непрерывность функции
- •7.1. Понятие функции одной переменной.
- •7.1.1. Определение функции. Элементарные функции.
- •7.1.2. Свойства функции одной независимой переменной.
- •7.1.3. Некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике.
- •7.2. Предел функции
- •7.2.1. Понятие предела функции в точке.
- •7.2.2. Теоремы о пределах функций.
- •7.2.3. Замечательные пределы.
- •7.2.4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
- •7.2.5. Сравнение бесконечно малых функций.
- •7.2.6. Раскрытие неопределенностей.
- •7.3. Непрерывность функции
- •7.3.1. Непрерывность функции в точке и на множестве.
- •7.3.2. Арифметические действия над непрерывными функциями.
- •7.3.3. Непрерывность сложной и обратной функции.
- •7.3.4. Точки разрыва функции и их классификация.
- •7.3.5. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •8.1. Производная
- •8.1.2. Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к плоской кривой. Угол между кривыми.
- •8.1.3. Физический смысл производной.
- •8.1.4. Непрерывность дифференцируемой функции.
- •8.1.5. Основные правила дифференцирования.
- •8.1.6. Таблица производных основных элементарных функций.
- •8.1.7. Производная степенно-показательной функции.
- •8.1.8. Примеры вычисления производных.
- •8.1.9. Производная неявной функции.
- •8.2. Дифференциал
- •8.2.1. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала.
- •8.2.2. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.
- •8.2.3. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •8.2.4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
- •8.2.5. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
- •8.3. Исследование функций с помощью производных
- •8.3.1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций.
- •8.3.3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •8.3.4. Выпуклость и вогнутость графика функции.
- •8.3.5. Асимптоты графика функции.
- •1. Многомерное арифметическое пространство
- •Тренировочное задание 1
- •Решение тренировочного задания 1
- •2. Системы векторов
- •Тренировочное задание 2
- •Решение тренировочного задания 2
- •3. Матрицы и определители
- •3.1. Матрицы и операции над ними
- •Тренировочное задание 3.1
- •Решение тренировочного задания 3.1
- •3.2. Определители и их свойства
- •Тренировочное задание 3.2
- •Решение тренировочного задания 3.2
- •4. Системы линейных уравнений
- •Тренировочное задание 4
- •Решение тренировочного задания 4
- •5. Аналитическая геометрия
- •5.1. Элементы аналитической геометрии на плоскости
- •Решение тренировочного задания 5.1
- •5.2. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Тренировочное задание 5.2
- •Решение тренировочного задания 5.2
- •6. Сходимость числовых последовательностей.
- •Тренировочное задание № 6.
- •Решение тренировочного задания № 6.
- •7. Предел и непрерывность функции.
- •Тренировочное задание № 7.
- •Решение тренировочного задания № 7.
- •8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •Тренировочное задание № 8
- •Решение тренировочного задания № 8.
х − |
1 |
С +1 |
+С −2С |
|
=1, |
х = |
1 |
С + 2С |
|
. Решением системы 5 б) |
1 |
2 |
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
является набор чисел:
12 С1 +2С2 ; − 12 С1 +1; С1; С2 , где С1 R, C2 R .
5.Аналитическая геометрия
5.1.Элементы аналитической геометрии на плоскости
1.Что понимается под уравнением прямой?
2.Какими способами можно задать прямую на плоскости относи-
тельно декартовой прямоугольной системы координат?
3. Запишите векторное уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (х0 , у0 ) перпендикулярно данному
вектору n = (А, В); общее уравнение прямой.
4. |
Что понимается под углом наклона прямой к оси Ох? |
5. |
Что называется угловым коэффициентом прямой? |
6. |
Что называется уравнением прямой с угловым коэффициентом? |
7. |
Что называется уравнением прямой, проходящей через данную |
|
точку в данном направлении (с данным угловым коэффициентом)? |
8. |
Что называется уравнением прямой, проходящей через две данные |
|
точки М1(х1, у1 ) и М 2 (х2 , у2 ), х1 ≠ х2 ? |
9.Что называется уравнением прямой в отрезках?
10.Что называется углом между двумя прямыми?
11.Запишите формулу для нахождения тангенса угла между прямыми
сугловыми коэффициентами k1 и k2.
12.Запишите условия параллельности и условия перпендикулярности
двух прямых.
Тренировочное задание 5.1 1. Точка С(2, 2) делит отрезок АВ в отношении λ = 2/3. Найти коор-
динаты точки В, если А(-2, 4).
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(1, 2):
159
а) перпендикулярно к вектору n = (2, 3); б) параллельно вектору S = (1, 0); в) под углом φ = 23π к оси Ох; г) и точку N = (4, 3).
3.Найти длину высоты, проведенной из вершины А треугольника АВС, если: А(4, -3), В(1,1), С(-3,-2). Сделать чертеж.
4.Среди прямых с уравнениями:
а) 6х – 4у – 3 = 0; б) 8х +6у +1 = 0; в) 4х – 6у +5 = 0; |
г) |
х |
+ |
у |
=1 |
||||||||||||||||
|
4 |
||||||||||||||||||||
указать параллельные и перпендикулярные. |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Решение тренировочного задания 5.1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1. Пусть В(хВ , уВ ). Используя формулы деления отрезка АВ в дан- |
|||||||||||||||||||||
ном отношении |
АС = λ , где λ ≠ −1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
СВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
х |
= |
хА +λ хВ |
, |
у |
С |
= |
уА +λ уВ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
С |
|
|
1+λ |
|
|
|
|
1+λ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
и подставляя |
вместо |
(хС , уС )= (2, 2), (хА , уА )= (−2, 4), получим |
|||||||||||||||||||
уравнения для нахождения хВ и уВ: |
|
|
4 +2уВ / 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 = |
−2 +2хВ / 3 |
, 2 = |
, |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1+2 / 3 |
|
1+ 2 / 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
хВ |
|
|
5 |
|
|
|
2 |
|
хВ = |
10 |
|
2, |
|
|
|
|
|
||
−2 + |
3 |
= 2 |
3 |
, |
|
|
|
3 |
|
3 |
+ |
хВ =8, |
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
уВ |
= 2 |
5 |
, |
|
|
|
2 |
|
уВ = |
10 |
− |
4, |
уВ = −1. |
||||||
4 + |
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: точка В(8; −1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. При составлении уравнения прямой надо воспользоваться тем видом уравнения прямой, в какой входит вся информация, имею-
щаяся о прямой: |
|
|
|
|
|
|
а) так как известны точка М0 (х0 , |
у0 ), принадлежащая прямой и |
|||||
вектор n = (А, В), |
перпендикулярный прямой, то надо использо- |
|||||
вать |
уравнение |
А(х – х0 )+ В(у – у0 )= 0. |
Подставляя в это урав- |
|||
нение |
данные |
М0 (1, 2) |
и |
n = (2,−3), |
получим |
|
2(х –1)+ (−3)(у – 2)= 0 |
или 2х – 3у +4 = 0; |
|
||||
160
б) так как координаты точки М0 (х0 , у0 ), через которую проходит прямая и координаты вектора S = (m; n), параллельного прямой,
входят в уравнение |
х − х0 |
= |
y − y0 |
, то имеем |
х −1 |
= |
y −2 |
или |
|
|
m |
|
n |
|
1 |
|
|
0 |
|
(у – 2) 1 = (х – 1) 0, т.е. у – 2 = 0; |
|
|
|
|
|
|
|||
в) так как координаты точки М0 (х0 , у0 ), через которую проходит
прямая, и угол φ, образованный прямой с осью Ох, фигурируют в уравнении у – у0 = k(х – х0 ), где k = tgφ , то поскольку
|
|
2π |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg |
− |
|
|
= − |
3 , то имеем |
y −2 = − 3(x −1) или |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
= tg π |
|
= −tg |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y + |
|
x −2 − |
|
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) так как координаты точек М (х1, у1 )и N(х2 , у2 ), через которые про- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ходит прямая, участвуют в уравнении |
|
х − х1 |
= |
y − y1 |
, то имеем |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
2 |
− х |
|
у |
2 |
− у |
||||
|
х −1 |
|
|
y −2 |
|
|
|
|
|
х −1 |
|
y −2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
= |
|
|
|
или |
|
= |
, |
тогда |
|
(х –1) 1 = (у – 2) 3, |
|||||||||||||||||||||
|
4 −1 |
|
3 −2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
х –1 = 3у – 6 |
|
и |
оконча- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
тельно получаем
х– 3у +5 = 0.
3.Найдем угловой коэффициент прямой ВС:
KBC = yC − yB ,
xC − xB
KBC = −−23 −−11 , KBC = 34 .
Угловой коэффициент высоты АН найдем из условия перпендикулярности прямых:
KAH KBC = −1; KAH = 3−/14 = − 43 .
Составим уравнение прямой АН с помощью уравнения:
у − уА = КАН (х − хА ); |
y +3 = − |
4 |
(x −4) , |
|
|
3 |
|
161