6.1.3. Свойства бесконечно малых последовательностей. |
||||||||||
Теорема 6.2. Алгебраическая сумма любого конечного числа бес- |
||||||||||
конечно малых последовательностей есть бесконечно малая последо- |
||||||||||
вательность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так, |
|
|
например, |
числовая |
последовательность |
|||||
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|||
{δn}= |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
есть бесконечно малая последовательность, |
|
|
|
|
||||||||
n |
|
n2 |
|
|
|
n |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|||
т.к. последовательности {αn}= |
|
|
, |
{βn}= |
|
|
|
, |
{γn}= |
|
|
|
есть |
|
|
2 |
|
|
|||||||||
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|||
бесконечно малые последовательности.
Теорема 6.3. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 6.4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть последовательность бесконечно малая.
Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число (константу) есть последовательность бесконечно малая.
Например, последовательность {βn}= 100000 , равная произве-
n
дению числа c =100000 на бесконечно малую последовательность f (x) есть бесконечно малая последовательность.
6.2. Сходящиеся последовательности
6.2.1. Определение предела последовательности.
Определение 6.8. Число a называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого, сколь угодно малого положительного действительного числа ε существует такой номер N , зави-
сящий от x → ∞, |
N = N(ε) , что д ля всех членов последовательности |
||||
с номерами n > N выполняется неравенство |
|
xn −a |
|
<ε . При этом |
|
|
|
||||
пишут: a = lim x |
или x → a при n → ∞. |
||||
n→∞ n |
n |
||||
Последовательность, имеющая конечный предел, называется |
|||||
сходящейся, в противном случае – расходящейся. |
|||||
Замечание. |
Иногда формально договариваются трактовать бес- |
||||
конечно большие последовательности как последовательности, сходящиеся к пределу ∞. Такая формализация позволяет использовать
83
для бесконечно большой последовательности {xn} следующую сим-
волику: |
lim |
x = ±∞. |
|
|
||||
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
Из |
неравенства |
|
xn −a |
|
<ε |
следует, что a −ε < xn < a +ε . Это |
||
|
|
|||||||
означает, что при |
y = ex > N |
все члены последовательности {x |
}, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
которая сходится к числу a , находятся в ε -окрестности точки a . Таким образом, геометрический смысл предела последовательности
следующий: если последовательность {xn} имеет пределом число a ,
то какую бы малую окрестность Vε |
точки a ни взять, начиная с неко- |
|||||
торого номера N = N(ε) |
все члены последовательности {xn} попа- |
|||||
дают и остаются в этой |
ε -окрестности; вне Vε -окрестности имеется |
|||||
лишь конечное число членов этой последовательности. |
||||||
Пример 6.3. Доказать, что число a = 1 |
является пределом чис- |
|||||
|
|
|
n |
2 |
|
|
ловой последовательности {x |
}= |
. |
|
|||
|
|
|
||||
|
n |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. Зададим любое ε > 0 и решим относительно x = x0 не-
равенство |
|
|
xn −a |
|
<ε . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Имеем |
|
n |
|
− 1 |
|
< |
ε |
|
|
2n −2n −1 |
|
<ε |
|
|
1 |
|
|
<ε , откуда |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
2(2n |
+1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2(2n +1) |
|
|
|
|
|||||||||||
2(2n +1) > 1 |
|
x − x |
|
> 1−2ε |
. Значит, выбирая |
N = |
1−2ε при всех |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ε |
|
0 |
|
|
|
|
4ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ε |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x − |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||
n > N получим, что выполняется неравенство |
|
<ε , что и док а- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
зывает тот факт, что |
|
1 |
= lim |
|
n |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Между понятиями предела и бесконечно малыми последовательностями существует тесная взаимосвязь: если {xn} сходится и имеет
пределом число a , то разность {αn}={xn −a} является бесконечно малой последовательностью; если {xn} можно представить в виде
суммы постоянного числа a и бесконечно малой последовательности {αn}, т.е. {xn}={a +αn}, то {xn} сходится к a .
84
6.2.2. Свойства сходящихся последовательностей.
Теорема 6.5. Если последовательность имеет предел, то он единственный.
Теорема 6.6. Сходящаяся последовательность ограничена. Теорема 6.7. Если последовательность {xn} имеет предел a и
a > 0 (a < 0) , то, начиная с некоторого номера, выполняется неравен-
ство xn > 0 (xn < 0) .
Теорема 6.8. (арифметические действия над сходящимися последовательностями): Если последовательности {xn}и {yn} сходятся к a
и b соответственно, т.е. |
a =lim x |
|
, |
|
b = lim |
y |
n |
, то: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
||||||
1. |
lim (x |
± y |
n |
) = |
lim x |
|
± |
lim |
y |
n |
= a ±b ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
|
n→∞ n |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2. |
lim (c |
x |
|
) |
= c |
lim x |
= ca ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n→∞ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
lim (x |
y |
n |
) = |
lim x |
lim y |
n |
= ab ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n→∞ |
|
n |
|
|
|
n→∞ |
n |
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
xn |
|
|
|
|
lim xn |
= a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
lim |
|
|
|
= |
n→∞ |
|
, если |
b ≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
n→∞ |
|
yn |
|
|
lim yn |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема 6.9. Пусть |
lim x = a , |
|
lim y |
n |
= b . Если, начиная с неко- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ |
n |
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
торого номера, |
|
xn ≥ yn , то a ≥ b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теорема 6.10. Пусть для последовательностей {xn}, {yn}, {zn}, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
выполнены |
|
неравенства |
x |
|
≤ y |
n |
≤ z |
n |
и |
|
lim x = |
lim z |
n |
= a . Тогда |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n→∞ n |
n→∞ |
|
||||||||
nlim→∞ yn = a .
Теорема 6.11. Для того, чтобы монотонная последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной.
С помощью этой теоремы можно установить, что монотонно воз-
растающая и ограниченная последовательность {x |
|
1 |
n |
|
}= 1+ |
схо- |
|||
n |
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
дится. Пределом в данном случае является число, обозначаемое по-
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
сле Эйлера буквой e : |
e = lim 1+ |
n |
|
, причем |
e = 2,7182818... |
|
ирра- |
|
|||||||
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
циональное число и является весьма характерным для анализа, как для арифметики 1 или для геометрии π .
85