3.3. Математична модель стаціонарних процесів в проточних еха ідеального змішування

Рішення математичної моделі нестаціонарного процесу, як було показано в попередньому розділі, (рис.3.1, 3.2), для проточних ЕХА мають експоненційну форму з виходом значень всіх технологічних параметрів на стаціонарні рівні, які з часом вже не змінюються. Якщо кінцевою метою є визначення лише стаціонарних параметрів режиму, математичну модель і алгоритм рішення можна суттєво спростити.

Математична модель стаціонарних процесів в ЕХА відрізняється від розглянутої моделі (3.6)-(3.13) лише тим, що в перших двох рівняннях замість похідних dC/d в лівій частині стоять нулі, бо приходні і витратні потоки кожного компонента в стаціонарному режимі однакові. Ця умова принципово змінює форму рівнянь балансу реагента (3.6) і продукту (3.7)– вони з диференційних перетворюються в звичайні алгебраїчні рівняння:

; (3.31)

; (3.32)

Всі інші співвідношення системи (3.6)-(3.13) залишаються без змін, в тому числі рівняння сумарного балансу масових потоків (3.8)

; (3.33)

Таким чином, математична модель набуває форми системи алгебраїчних рівнянь балансу речовин, в даному випадку – трьох. Кількість незалежних параметрів, які входять до цієї системи, сім: 4 концентрації, 2 об’ємних потоки і струм. Інші параметри системи є залежними – вони визначаються як функції незалежних, наприклад ,. Різницю між кількістю незалежних параметрів і кількістю рівнянь, в даному випадкуF= 7-3=4 називають кількістю ступенів свободи. Це число означає, що система рівнянь недовизначена і має багато рішень. Для того, щоб одержати єдине рішення, потрібно деяким змінним, в даному випадку в кількості F= 4 , надати довільні числові значення, тоді кількість невідомих буде дорівнювати кількості рівнянь. Поняття кількості ступенів свободи має не лише математичний, але і фізичний зміст – це кількість вхідних параметрів, які безпосередньо і незалежно можуть регулюватись. В даному прикладі це струм І, концентрації у вхідному потоці С^А₁, С^В₁, і вхідний об’ємний потік J₁.

З математичної точки зору всі параметри рівнозначні, тому можна формулювати різні задачі, змінюючи набори 4-х заданих та 3-х невідомих з загальної кількості 7. Кількість таких комбінацій дорівнює , але практичне значення мають лише декілька з них. Ми розглянемо лише пряму задачу, коли задають значення чотирьох саме вільно регульованих параметрів системиІ, С^А₁, С^В₁, J_1, і шукають три невідомих С^А, С^В, J₂.

Система рівнянь (3.31) – (3.33) нелінійна, бо серед доданків є добутки невідомих J₂×C. Таку систему можна вирішити простим ітераційним методом. Для цього перепишемо всі три рівняння так, щоб в лівій частині був невідомий параметр :

; (3.34)

; (3.35)

; (3.36)

На першому кроці визначимо приблизні значення невідомих С^А, С^В, J₂ (нульове наближення), прийнявши, наприклад , умови J₂= J₁, В_Т1=1, g_G+g_T+g_P=0:

; (3.37)

; (3.38)

Далі виконується ітераційна процедура: використовуючи попереднє наближення, за формулами (3.9) – (3.13) спочатку підраховують значення параметрів (g_G+g_T+g_P), , В_Т1, після чого за рівняннями (3.34) – (3.36) визначають наступне наближення значень невідомих С^А, С^В, J₂. Такі кроки, кожний на дві дії, повторюються до тих пір, поки невідомі поступово досягають певних значень і на всіх подальших кроках не змінюються. Закінчують ітерації тоді, коли різниця між значеннями всіх трьох невідомих на попередньому і наступному кроці стає меншою за вказану в умовах задачі величину.

Описаний алгоритм можна реалізувати в такій простій програмі: