1. L(X) – число доживающих до возраста X лет

Если х = 0, то l(0) – это число родившихся

l(0)=100000

0 ≤ l(x) ≤ 100000

2. Q(X) – вероятность смерти в возрасте X лет. Данная вероятность рассчитывается в долях единицы (а не в % и не в ‰)

0 ≤ q(x) ≤ 1

показатели q(x) рассчитываются на основе показателей m (x), то есть, возрастных коэффициентов смертности

Формулы пересчета m(x) в q(x)

Возр. Коэфф. Смертности, выраженные в долях единицы - µ(x)

µ(x)=

q(x) очень близко по значению к µ(x)

для x = 0

q(x) = µ(x)

для x ≥ 1

q(x) =

обычно эту формулу записывают несколько иначе:

(ее числитель и знаменатель умножают на 2)

В России в 2007 г. m(0)=10‰, µ(0)=10/1000=0,01

q(0) = µ(0)=0,01

если определять коэффициент смертности тоже в долях единицы

q(x) =

или

q(x) =

(в учебниках обычно приводится именно эта формула)

Если мы хотим перейти от показателей таблицы смертности, которые рассчитываются на основании возрастных коэффициентов смертности в долевом выражении, обратно к этим же возрастным коэффициентам смертности

mۥ(x)=M(x)/S(x)

M(x) – число умерших в возрасте x в течение года

S(x) – среднегодовая численность населения (т.е. живущих) в возрасте x, начиная от тех, кому x лет исполнилось только что и кончая людьми в возрасте x лет 11 месяцев и 29 дней. Однако в течение x+1-го года жизни численность людей уменьшается.

Поэтому можно условно считать, что

S(x) – это численность людей в возрасте x+0,5 лет (при условии что в возрасте x смертные случаи будут равномерно распределяться по месяцам и дням жизни. Это условие справедливо для всех возрастов, кроме возраста до 1 года; x=0).

Кроме показателя l(x) - числа доживающих до точного возраста x, в таблицах смертности используется показатель среднего

числа живущих в возрасте x - L(x). Для всех возрастов от 1 года и старше среднее число живущих (в учебниках по демографии прилагательное "среднее" опускается) - это среднее арифметическое между числом

доживающих до возраста x и числом доживающих до следующего возраста x+1.

L(x)=

В возрасте до 1 года (x=0)

L(x)=

Где a – тот же параметр, который используется при расчете коэффициента смертности детей в возрасте до 1 года.

Если x=0 и

a = 0,85, то

L(0)=

Можно считать, что L(x) - это число доживающих до возраста x+0,5 лет.

По своему смыслу именно показатель L(x) в таблицах смертности соответствует показателю S(x) - то есть, численности населения в возрасте x лет по данным переписи или текущей оценки возрастного состава населения.

d(x)

показатель d(x) из таблицы смертности, то есть число умерших в возрасте x из 100000 родившихся, то есть из исходной численности условного поколения в этой таблице, соответствует показателю M(x), то есть числу умерших в возрасте x в реальном населении.

d(x)/L(x)= mۥ(x)=M(x)/S(x)(формула обратного перехода)

L(x)=(l(x)+l(x+1))/2=

Однако l(x+1)= l(x)-d(x)

Следовательно

L(x)=(l(x)+l(x+1))/2=( l(x)+ l(x) )-d(x))/2=

=(2 l(x)-d(x))/2=l(x)-d(x)/2

L(x)= l(x)-d(x)/2

mۥ(x)= d(x)/L(x)=d(x)/( l(x)-d(x)/2)

в таблицах смертности

d(x) = q(x)×l(x)

С учетом этого соотношения преобразуем формулу еще раз:

mۥ(x)= d(x)/(l(x)-d(x)/2)=

=q(x)×l(x)/(l(x)-l(x)×q(x)/2)=

=q(x)(1-q(x)/2)

mۥ(x)= q(x)/(1-q(x)/2)

то есть, если умножить обе стороны этого уравнения на (1-q(x)/2), то мы получим уравнение следующего вида:

mۥ(x)× (1-q(x)/2)= q(x)

mۥ(x)- mۥ(x)× q(x)/2= q(x)

или

mۥ(x)= q(x)+ mۥ(x)× q(x)/2= q(x)×(1+ mۥ(x)/2)

mۥ(x)= q(x)×(1+ mۥ(x)/2)

следовательно

q(x)= mۥ(x)/ (1+ mۥ(x)/2)

Таким образом, выводится формула перехода от коэффициентов смертности (в долях единицы) mۥ(x) к вероятностям смерти q(x) для всех возрастов, начиная с одного года.

Вероятность смерти всегда (в возрастах от одного года и старше) немножко меньше, чем коэффициент смертности в долевом выражении. Разница между вероятностью и коэффициентом значительна только при очень высоких коэффициентах смертности