- •Высшая математика математический анализ функций одной переменной
- •0501 „Экономика и предпринимательство”,
- •0502 „Менеджмент”
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 5 от 13 января 2009 г.);
- •Содержание
- •Краткие теоретические сведения
- •1. Пределы и непрерывность функции
- •1.1. Предел числовой последовательности и функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы функции в точке.
- •1.2. Основные теоремы о пределах
- •1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •1.4. Примеры вычисление пределов
- •1.5. Непрерывность функции
- •Вопросы для самоконтроля
- •2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •2.1. Производная функции. Геометрический смысл производной функции
- •2.2. Общие правила дифференцирования функции.
- •Основные правила дифференцирования
- •Производная сложной функции
- •Сводная таблица формул дифференцирования
- •Производная обратной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Дифференцирование неявной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Производные высших порядков
- •2.3. Дифференциал функции
- •2.4. Применение дифференциального исчисления функции одной переменной
- •2.4.1. Применение производной при вычислении пределов.
- •Правило Лопиталя
- •2.4.2. Возрастание и убывание функции на интервале
- •2.4.3. Экстремумы функции
- •2.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
- •Значений функции на отрезке:
- •2.4.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:
- •2.4.6. Асимптоты графика функции
- •2.4.7. Полное исследование функции и построения ее графика.
- •2.5. Вопросы для самоконтроля
- •3. Интегральное исчисление функции одной переменной
- •3.1. Неопределенный интеграл
- •3.1.1 Свойства неопределённого интеграла.
- •3.1.2. Таблица неопределенных интегралов
- •3.1.3. Основные методы интегрирования
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Метод замены переменной
- •Метод интегрирования по частям
- •3.1.4. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •Интегрирование простейших дробей
- •3.1.5. Интегрирование тригонометрических функций.
- •, , .
- •3.1.6. Интегрирование некоторых видов иррациональных функций
- •3.1.7. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.1.8. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции
- •3.1.9. Вопросы для самоконтроля
- •3.2. Определенный интеграл
- •3.2.1. Интегральная сумма и определенный интеграл
- •3.2.2. Свойства определенного интеграла
- •3.2.3. Вычисление определенного интеграла
- •Метод замены переменной в определенном интеграле
- •Метод интегрирования по частям в определенном интеграле
- •3.2.4. Несобственные интегралы
- •3.2.5. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах
- •Вычисление объема тела вращения
- •Вычисление длины дуги кривой
- •3.2.6. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания для расчетно-графической работы
- •4) ; 5).
- •Таблицы выбора вариантов заданий для ргр № 2
- •211 Группа
- •212 Группа
- •213 Группа
- •214 Группа
- •215 Группа
- •311 Группа
- •312 Группа
- •313 Группа
- •314 Группа
- •315 Группа
- •316 Группа
- •1111 Группа
- •1112 Группа
- •1211 Группа
- •1212 Группа
- •1311 Группа
- •1312 Группа
- •1313 Группа
- •1511 Группа
- •1512 Группа
2.4.6. Асимптоты графика функции
Построение графика функции облегчается, если знать его асимптоты.
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по графику от начала координат (т.е. при стремлении аргумента к бесконечности).
Различают вертикальные и наклонные асимптоты. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.
Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если .
Вертикальные асимптоты проходят через точки бесконечного разрыва функции. Поэтому вертикальные асимптоты график функции может иметь только в точках разрыва второго рода или на границах области определения.
Наклонные асимптоты получают при исследовании поведения функции на бесконечности.
Уравнение наклонной асимптоты имеет вид , где
, .
Указанные пределы нужно находить отдельно при и.Если эти пределы будут различными, то график функции имеет две различные наклонные асимптоты: левостороннюю при и правостороннюю при . Если эти пределы равны при и, то функция имеет одну наклонную асимптоту.Если хотя бы один из указанных пределов, при отыскании и равен или не существует, то наклонных асимптот нет.
В частном случае, если , а, график функции имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой . Это прямая, параллельная оси .
Пример 21.
Найти асимптоты графика функции .
Решение.
Функция определена на всей числовой оси, кроме . Область определения функции имеет вид: .
Следовательно, точка – точка разрыва функции. Исследуем точку разрыва и вычислим односторонние пределы функции в указанной точке.
; .
Так как односторонние пределы равны , то в точке функция имеет разрыв второго рода. Соответственно график функции имеет вертикальную асимптоту (ось).
Возможное уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде . Вычислим значения параметров и (для дробно-рациональной функции пределы будут одинаковы при ).
;
.
Подставляя найденные значения и, получим уравнение наклонной асимптоты .
График функции показан на рис.8
2.4.7. Полное исследование функции и построения ее графика.
Для построения графика функции необходимо выяснить его характерные особенности, т.е. исследовать функцию. Полное исследование функции проводят по следующей схеме:
Найти область определения функции.
Исследовать функцию на непрерывность. Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать функцию на чётность и нечётность.
Исследовать функцию на периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Определить промежутки монотонности и экстремумы функции.
Определить промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба.
Найти наклонные асимптоты графика функции. Если график не имеет наклонных асимптот исследовать поведение функции при .
Построить график функции (при необходимости найти дополнительные точки графика функции).
Пример 22.
Провести полное исследование функций и построить их графики:
а) ; б).
Решение.
а) .
1. Область определения функции.
Функция определена при всех значениях , кроме тех, в которых знаменатель обращается в ноль, т.е.
, .
Область определения функции .
2. Непрерывность функции.
Функция определена при всех значениях , кроме . Следовательно, точки и – точки разрыва функции. Исследуем точки разрыва, найдем односторонние пределы функции в указанных точках.
;
;
;
.
Так как односторонние пределы равны , то в точках и функция терпит разрыв второго рода. Следовательно, график функции имеет две вертикальные асимптоты и .
3. Четность, нечетность.
Так как , то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат.
4. Периодичность.
Так как не существует значения , при котором выполняется равенство , то функция непериодическая.
5. Точки пересечения с осями координат.
Точки пересечения графика функции с координатными осями ищем, приравнивая аргумент и функцию нулю.
С осью : ;;.
Точка пересечения графика функции с осью имеет координаты: .
С осью : .
Точка пересечения графика функции с осью имеет координаты: .
Следовательно, график функции проходит через начало координат, других точек пересечения графика функции с координатными осями нет.
6. Промежутки возрастания, убывания функции, экстремумы.
Найдем первую производную:
.
Найдем критические точки первого рода:
; .
Разобьем область определения критическими точками первого рода на интервалы и определим в каждом из них знак производной .
– 1 |
0 |
1 | |||||
+ |
не сущ. |
+ |
0 |
+ |
не сущ. |
+ | |
↗ |
не сущ. |
↗ |
0 |
↗ |
не сущ. |
↗ |
Так как при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то экстремума нет.
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
.
Найдем критические точки второго рода: ;
; ;.
Разобьем область определения критическими точками второго рода на интервалы и определим в каждом из них знак второй производной .
– 1 |
0 |
1 | |||||
+ |
не сущ. |
– |
0 |
+ |
не сущ. |
– | |
|
не сущ. |
|
0 |
|
не сущ. |
|
точка
перегиба
Так как при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то – абсцисса точки перегиба. Точка перегиба: .
8. Наклонные асимптоты.
Уравнение наклонной асимптоты будем искать в виде . Вычислим значения параметров и (для дробно-рациональной функции пределы будут одинаковы при ).
;
Так как и, то график функции имеет горизонтальную асимптоту (ось).
9. Построение графика.
Построим график функции, учитывая пункты 1–8 (рис. 9).
Дополнительно найдем несколько точек графика функции:
–3 |
–2 |
–1,5 |
–0,5 |
0,5 |
1,5 |
2 |
3 | |
0,38 |
0,67 |
1,2 |
–0,67 |
0,67 |
–1,2 |
–0,67 |
–0,38 |
б) .
1. Область определения функции.
Логарифмическая функция определена при, кроме этого знаменатель не может равняться нулю, т.е..
Тогда область определения функции имеет вид: .
2. Непрерывность функции.
Так как функция не определена в точке , то это точка разрыва. Исследуем характер точки разрыва, найдем односторонние пределы функции.
;
.
Так как односторонние пределы равны , то в точке функция терпит разрыв второго рода. Следовательно, функция в этой точке имеет вертикальную асимптоту .
Исследуем также поведение функции на границе области определения:
.
Значит при справа график функции стремится в точку .
3. Четность, нечетность.
Так как и, то функция ни четная ни нечетная, т.е. общего вида.
4. Периодичность.
Так как не существует значения , при котором выполняется равенство , то функция непериодическая.
5. Точки пересечения с осями координат.
С осью :;;.
Так как полученная система не имеет решений, значит точек пересечения графика с осью нет.
С осью : так какне входит в область определения, то точек пересечения с осьюнет.
График функции не пересекает координатные оси.
6. Промежутки возрастания, убывания функции, экстремумы.
Найдем первую производную:
.
Найдем критические точки первого рода:
; ;;.
Разобьем область определения критическими точками первого рода на интервалы и определим в каждом из них знак производной .
1 |
е | ||||
– |
не сущ. |
– |
0 |
+ | |
↘ |
не сущ. |
↘ |
2е |
↗ |
min
Так как при переходе через критическую точку производная меняет знак с «–» на «+», то в этой точке – минимум функции.
Найдем значение функции в точке :.
7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную:
.
Найдем критические точки второго рода: .
; ;.
Разобьем область определения критическими точками второго рода на интервалы и определим в каждом из них знак второй производной .
1 | |||||
– |
не сущ. |
+ |
0 |
– | |
|
не сущ. |
|
е2 |
|
точка
перегиба
Так как при переходе через критическую точку вторая производная меняет знак, то – абсцисса точки перегиба.
Найдем значение функции в точке :
.
8. Наклонные асимптоты.
Вычислим значения параметров и (учитывая область определения функции можно рассматривать лишь случай при).
;
.
Так как , то график функции наклонных асимптот не имеет.
Исследуем поведение функции при :
(см. выше нахождение параметра ).
9. Построение графика.
Построим график функции, учитывая пункты 1–8 (рис. 10).
Дополнительно найдем несколько точек графика функции:
0,5 |
1,5 |
2 |
5 |
8 |
11 | |
–1,44 |
7,4 |
5,77 |
6,21 |
7,69 |
9,11 |