Вычисление длины дуги кривой

Если функция и ее производнаянепрерывны на отрезке , то длина дуги кривой на отрезке определяется по формуле:

.

Пример 45.

Вычислить длину дуги кривой отдо.

Решение.

Найдем производную заданной функции: . Подставим производную в формулу для вычисления дуги кривой. Границы промежутка интегрирования равны:;.

(ед.).

3.2.6. Вопросы для самоконтроля

1. Что называется интегральной суммой?

2. Что называется определенным интегралом функции на отрезке?

3. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

4. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

5. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.

6. В чем заключается интегрирование методом подстановки определенного интеграла?

7. В чем заключается метод интегрирования по частям определенного интеграла?

8. Запишите формулу интегрирования по частям.

9. Что называется несобственными интегралами?

10. Какие бывают виды несобственных интегралов?

11. Какие существуют геометрические приложения определенного интеграла?

12. Как вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной заданными линиями?

13. Как вычислить объем тела вращения фигуры, ограниченной линиями, вокруг координатной оси?

14. Как вычислить длину дуги плоской кривой?

Литература

Основная:

1. Вища математика: Навчальний посібник: У 2 ч./ Ф.М. Ліман, В.Ф. Власенко, С.В. Петренко та інші, За заг. ред. Ф.М. Лимана. – Суми; ВТД „Університетська книга”, 2006. – 614 с.

2. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – 6-е изд. – М.: Наука, 1986. – 576 с.

3. Шипачев В.С. Высшая математика: Учебник для ВУЗов – 6-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

4. Высшая математика для экономистов: Учебник для ВУЗов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М., ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

5. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – 10-е изд. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

6. Шипачёв В.С. Задачник по высшей математике: Учебн. пособие для ВУЗов – 3-е изд. – М.: Высш. шк., 2002. – 304 с.

Дополнительная:

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т. 1, 2. – 7-е изд. – М.: Наука, 1966. – т.1 – 552 с., т.2 – 312 с.

2. Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. – 7-е изд. – М.: Наука, 1971. – 736 с.

3. Шипачёв В.С. Основы высшей математики: Учебн. пособие для ВУЗов – 5-е изд. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.

4. Соболь Б.В., Мишняков Н.Т., Поркшеян В.М. Практикум по высшей математике. – Ростов н/Д: Изд-во «Феникс», 2004. – 640 с.

Индивидуальные задания для расчетно-графической работы

ЗАДАНИЕ 1. Вычислить пределы.

1. а) ; б); в);

г) ; д).

2. а) ; б); в);

г) ; д).

3. а) ; б); в);

г) ; д).

4. а) ; б); в);

г) ; д).

5. а) ; б); в);

г) ; д).

6. а) ; б); в);

г) ; д).

7. а) ; б); в);

г) ; д).

8. а) ; б); в);

г) ; д).

9. а) ; б); в);

г) ; д).

10. а) ; б); в);

г) ; д).

11. а) ; б); в);

г) ; д).

12. а) ; б); в);

г) ; д).

13. а) ; б); в);

г) ; д).

14. а) ; б); в);

г); д).

15. а) ; б); в);

г) ; д).

16. а) ; б); в);

г); д).

17. а) ; б); в);

г); д).

18. а) ; б); в);

г) ; д).

19. а) ; б); в);

г) ; д).

20. а) ; б); в);

г) ; д).

21. а) ; б); в);

г) ; д).

22. а) ; б); в);

г) ; д).

23. а) ; б); в);

г); д).

24. а) ; б); в);

г); д).

25. а) ; б); в);

г); д).

26. а) ; б); в);

г); д).

27. а); б); в);

г) ; д).

28. а) ; б); в);

г) ; д).

29. а) ; б); в);

г) ; д).

30. а) ; б); в);

г) ; д).

ЗАДАНИЕ 2. Найти производные данных функций, используя формулы дифференцирования в произвольной точке.

1. а) б)у = ln arctg x²; в) ;

г) ; д); е)х² + cos xу² – 2у = 0.

2. а) б)у = 5^{ln ctg 2}; в) ;

г) ; д); е) sinx – arctg y + ху = 0.

3. а) ; б) у = ln arctg² x²; в) ;

г) ; д); е) е^х – cosху – y³ = 0.

4. а) б)у = arctg³; в)

г) д); е)х sin у – у cos x – 2 = 0.

5. а); б); в);

г); д) ; е) e^x – x² + ye^x – e ^y = 0.

6. а) б)у = ln⁴ cos; в);

г) д); е) 2x – sin 2x – х²y² = 0.

7. а) ; б) ; в);

г) ; д); е) e^xy – x² + y² = 0.

8. а) б)у = sin³ е^{tg 3x}; в) ;

г) ; д); е)y sin x + cos y = 0.

9. а) ; б); в);

г) ; д); е) cos (x – y) – 2x + 4y = 0.

10. а) ; б)у = ; в);

г) ; д); е).

11. а) ; б)у = ; в);

г); д); е)xy + ln y + cos 2x = 0.

12. а) ; б)у = ln arcsin x²; в) ;

г) ; д); е).

13. а) ; б)у = arccos; в);

г) ; д); е) (x + y)² = x – y.

14. а) ; б)у = log₅sin(x² + 2x + 2); в);

г) ; д); е)y ln x – x ln y = x + y.

15. а) ; б); в);

г) ; д); е)x³ y³ – 2 x y + 3 = 0.

16. а) ; б)у = tg³arcsin; в);

г) ; д); е)x² y² – cos (x + у²) = 0.

17. а) ; б)у = arctg³; в);

г) ; д); е) cos (x y) – 2x + 3у² = 0.

18. а) ; б); в);

г) ; д); е).

19. а) ; б); в);

г); д); е) 5x² y² – 7y + 9 = 0.

20. а) ; б)у = arctg³(x⁵ – 3x); в) ;

г) ; д); е)x³ y³ – 2 x y – 3 = 0.

21. а) ; б)у = ln tg²; в) ;

г) ; д); е)x² + x⁴ y² + у⁴ = 3.

22. а); б)у = ln(); в);

г); д); е)x² + sin y² – x y = 0.

23. а) ; б); в);

г); д); е)x³ + y³ – 3 x² y = 0.

24. а) ; б)у = sin; в);

г) д); е)x⁴ + y⁴ – x² y² = 0.

25. а) ; б)у = log₃arcsin3x; в);

г) ; д) ; е)y – x е^у – sin ху + 3 = 0.

26. а) ; б)у = ln²arcsin; в);

г)д); е)y³ + е^ху + x³ – 4 = 0.

27. а) ; б)у = ; в);

г) ; д); е)x y + 2е^у – 4 = 0.

28. а) ; б)у = ; в);

г) ; д); е)x³ y³ – sin y + 3 = 0.

29. а) ; б)у = arcsin; в);

г) ; д); е) 2sinx + cos xy ² = 0.

30. а) ; б)у = tg sin²cos4x; в);

г) ; д); е)x³ y² – cos y + 4 = 0.

ЗАДАНИЕ 3. Провести полное исследование функций по схеме:

1. Область определения функции.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

4. Четность, нечетность.

5. Периодичность.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

8. Наклонные асимптоты.

9. Построение графика.

1. а) y = ;2. а) y = ;

б) у = х; б) y = x lnx;

3. а) y = ;4. а) y =

б) y = x – lnx; б) y = ;

5. а) y = ;6. а) y = ;

б) y = exe^–x; б) y = xe^–x;

7. а) y = ;8. а) y = ;

б) y = ; б) y = ;

9. а) у = ;10. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

11. а) у = ;12. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

13. а) у = ;14. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

15. а) у = ;16. а) у = х + ;

б) у = ; б)у = ;

17. а) у = ;18. а) у = ;

б) у = ln(x² + 4x); б) y = ;

19. а) у = ;20. а) у = ;

б) у =; б)у = х²е^–х;

21. а) у = ;22. а) у = ;

б) у = х – 2lnx; б) у = ;

23. а) у = ;24. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

25. а) у = ;26. а) у = ;

б) у = ; б)у = ;

27. а) у = ;28. а) у = ;

б) у = х² lnx; б) у = ;

29. а) у = ;30. а) у = ;

б) у = ; б)у = .

ЗАДАНИЕ 4. Вычислить неопределенные интегралы.

1. 1); 2); 3);