1.5. Непрерывность функции

Функция называется непрерывной в точке , если выполнены следующие три условия:

1) функция определена в точке и в её окрестности,

2) существует конечный предел ,

3) этот предел равен значению функции в точке , т.е..

Функция называется непрерывной в интервале , если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Точка , в которой не выполнено хотя бы одно из трёх условий непрерывности, называетсяточкой разрыва функции. Так, например, все точки не входящие в область определения функции являются точками разрыва.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т.е. и , и при этом:

1. если , то точканазываетсяточкой устранимого разрыва;

2. если , то точканазываетсяточкой конечного разрыва.

Величину называютскачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) равен бесконечности.

Пример 9.

Исследовать на непрерывность функцию .

Решение.

Найдем область определения функции. Так как , то.

Область определения функции имеет вид: .

Функция определена при всех значениях , кроме . Следовательно, точка– точка разрыва функции. Исследуем точку разрыва и вычислим односторонние пределы функции в указанной точке.

.

.

Так как один из односторонних пределов равен , то в точке функция имеет разрыв второго рода.

График функции показан на рис. 3.

6. Вопросы для самоконтроля

1. Что называется пределом числовой последовательности?

2. Что называется пределом функции в точке?

3. Что называется пределом функции на бесконечности?

4. Что называется односторонними пределами функции в точке?

5. Перечислите основные теоремы о пределах.

6. Какой предел называется первым замечательным? Перечислите следствия из первого замечательного предела.

7. Какой предел называется вторым замечательным? Перечислите следствия из второго замечательного предела.

8. Что называется бесконечно малой функцией?

9. Что называется бесконечно большой функцией?

10. Перечислите основные свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

11. Перечислите замены эквивалентных бесконечно малых функций.

12. Что называют неопределенностью?

13. Какие существуют виды неопределенностей?

14. Какие приемы используют для раскрытия основных видов неопределенностей?

15. Какая функция называется непрерывной в точке?

16. Что называют точкой разрыва функции?

17. В чем отличие точек разрыва функции первого рода от точек разрыва второго рода?

18. Что называют скачком функции в точке разрыва первого рода?

2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

2.1. Производная функции. Геометрический смысл производной функции

Пусть функция определена на некотором интервале .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е. при :

или .

Производная функции можетобозначается символами:

, , , .

Геометрический смысл производной заключается в том, что значение производной функции в точке численно равно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке , то есть:

,

где  – угол между касательной и положительным направлением оси Ох (рис. 4).

Геометрический смысл производной используется для составления уравнения касательной или нормали к графику функции в точке .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

.

Нормалью к кривой в точке называется прямая, перпендикулярная к касательной в данной точке и проходящая через точку касания .

Уравнение нормали имеет вид:

.