2.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции используют свойство функции, непрерывной на отрезке:

Если функция непрерывна на отрезке , то она обязательно достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значения. Эти значения находятся или в точках экстремума, лежащих внутри отрезка, или на концах отрезка.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего

Значений функции на отрезке:

1. Найти критические точки І рода функции на отрезке .

2. Вычислить значения функции в критических точках.

3. Вычислить значения функции на концах отрезка.

4. Среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 19.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение.

Вычислим производную и найдем критические точки первого рода.

;

, если ;;.

Из найденных двух критических точек только точка принадлежит заданному интервалу .

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка и:

;

;

.

Сравнивая три полученных значения функции, определяем, что:

наибольшее значение функции

наименьшее значение функции .

2.4.5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

График функции называется выпуклым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 7а).

График функции называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале (рис. 7б).

Выпуклость и вогнутость графика функции связана со знаком второй производной функции. Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости опирается на следующую теорему.

Теорема: Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т.е. , то график функции на этом интервале выпуклый, если же, то график функции вогнутый.

Точка графика функции, отделяющая выпуклую часть графика от вогнутой, называется точкой перегиба.

Для нахождения точек перегиба графика функции используют необходимое и достаточное условия существования точек перегиба.

Необходимое условие существования точки перегиба.

Если – абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная в этой точке либо равна нулю, либо не существует, т.е. или не существует.

Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует (в частности, точки разрыва функции), называются критическими точками второго рода.

Замечание: Обратное утверждение не всегда верно, то есть если или не существует, то точка с абсциссой может не являться точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба.

Если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то точка с абсциссой является точкой перегиба графика функции.

Схема исследования функции на

Интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба:

1. Найти область определения функции .

2. Найти первую производную .

3. Найти вторую производную .

4. Найти критические точки ІІ рода.

5. Разбить критическими точками ІІ рода область определения функции на интервалы.

6. Определить знак второй производной на каждом из интервалов (методом подстановки значений аргумента или методом интервалов).

7. Определить интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции.

8. Определить, используя достаточный признак, какие из критических точек второго рода являются точками перегиба.

9. Вычислить значение функции в полученных точках перегиба.

10. Результаты оформить в виде таблицы.

Пример 20.

Найти интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба графика функции .

Решение.

Функция определена на всей числовой оси. Область определения функции имеет вид: .

Найдем первую производную функции:

.

Найдем вторую производную функции:

.

Найдем критические точки второго рода:

.

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю:

; .

Следовательно, точка – критическая точка ІІ рода.

Разбиваем всю числовую ось на интервалы и определяем знак второй производной на каждом интервале.

		0
	–	не сущ.	–
		0	

Так как на интервалах вторая производная отрицательная значит, на этих интервалах график функции выпуклый.

Интервалов вогнутости график функции не имеет.

Так как при переходе через критическую точку вторая производная не меняет свой знак, то в этой точке перегиба нет.

Приближенный вид графика функции приведен на рис 6.