2.5. Вопросы для самоконтроля

1. Что называется производной функции?

2. Каков геометрический смысл производной функции?

3. Какой имеет вид уравнение касательной к кривой в точке и уравнение нормали?

4. Перечислите производные функций, входящих в таблицу производных.

5. Какие существуют основные правила дифференцирования?

6. Как находится производная сложной функции?

7. Как находится производная обратной функции?

8. Как находится производная функции, заданной параметрически?

9. Как находится производная неявной функции?

10. В чем заключается логарифмическое дифференцирование?

11. Что называется дифференциалом функции?

12. Как находится дифференциал функции?

13. В чем заключается правило Лопиталя? Для чего оно применяется?

14. Какая функция называется возрастающей, убывающей?

15. Сформулируйте необходимые и достаточные условия возрастания, убывания функции.

16. Что называется максимумом и минимумом функции?

17. Сформулируйте необходимое и достаточные условия существования экстремума.

18. Как находится наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

19. Какая функция называется выпуклой, вогнутой на интервале?

20. Что называется точкой перегиба графика функции?

21. Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования точки перегиба?

22. Что называют асимптотой графика функции?

23. Как найти наклонную асимптоту графика функции?

24. Изложите схему полного исследования функции.

3. Интегральное исчисление функции одной переменной

3.1. Неопределенный интеграл

В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции найти ее производную или дифференциал. Интегральное исчисление решает обратную задачу – нахождение самой функции по ее производной или дифференциалу.

Функция называетсяпервообразной функцией (или просто первообразной) для функции на промежутке, если в каждой точкеэтого промежутка:

.

Например, функция является первообразной функциина всей числовой оси, т.к..

Очевидно, что первообразными будут также любые функции , где– постоянная, т.к..

Теорема. Если функция является первообразной функции на интервале , то множество всех первообразных для определяется по формуле , где– некоторая константа (произвольное число).

Таким образом, неопределенным интегралом от функции называется множество всех ее первообразных:

.

Здесь – знак неопределенного интеграла,

–подынтегральная функция,

–подынтегральное выражение.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных кривых (каждому числовому значениюсоответствует определенная кривая семейства).

Неопределенный интеграл существует для всякой непрерывной на промежутке функции.

Правильность интегрирования всегда можно проверить, выполнив обратное действие, т.е. найдя производную функции, получившейся в результате интегрирования.

Производная функции, получившейся в результате интегрирования, должна быть равна подынтегральной функции.

3.1.1 Свойства неопределённого интеграла.

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:

.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функции равен сумме интегралов от этих функций:

.