1.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция называетсябесконечно малой при , если

.

По определению предела функции равенство означает, что для заданного сколь угодно малого числа найдётся такое число, что для всехудовлетворяющих неравенствубудет выполнятся неравенство.

Функция называетсябесконечно большой при , если

.

По определению предела функции равенство означает, что для заданного сколь угодно большого числа найдётся такое число , что для всехудовлетворяющих неравенствубудет выполняться неравенство.

Замечание: Аналогично, можно говорить о бесконечно больших и бесконечно малых функциях при .

Бесконечно большие и бесконечно малые функции обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Сумма конечного числа бесконечно малых функций является функцией бесконечно малой.

Свойство 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию является функцией бесконечно малой.

Свойство 3. Произведение постоянной на бесконечно малую функцию является функцией бесконечно малой.

Свойство 4. Произведение конечного числа бесконечно малых функций является функцией бесконечно малой.

Свойство 5. Сумма конечного числа бесконечно больших функций является функцией бесконечно большой.

Свойство 6. Произведение ограниченной функции на бесконечно большую функцию является функцией бесконечно большой.

Свойство 7. Произведение постоянной на бесконечно большую функцию является функцией бесконечно большой.

Свойство 8. Функция, обратная по величине бесконечно большой, является функцией бесконечно малой.

Свойство 9. Функция, обратная по величине бесконечно малой, является функцией бесконечно большой.

Замечание: свойства 8 и 9 отражают связь между бесконечно большой и бесконечно малой функциями.

Если принять следующие обозначения: бесконечно малая функция – символ 0, бесконечно большая функция – символ , постоянная величина – символ , ограниченная функция – символ, то все изложенные свойства можно записать следующим образом:

1. ; 4.; 7.;

2. ; 5.; 8.;

3. ; 6.; 9.

Для сравнения двух бесконечно малых функций ипри находят предел их отношения:

1. Если , тоназывается бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с.

2. Если тоназывается бесконечно малой функцией более высокого порядка по сравнению с.

3. Если , тоиназываются бесконечно малыми функциями одного и того же порядка.

4. Если , то и называются эквивалентными (равносильными) бесконечно малыми: .

При вычислении пределов используют следующие замены эквивалентных бесконечно малых функций при или:

, ,,,

, ,,,

, ,,.

Следует заметить, что предел отношения бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им бесконечно малых функций.

Замечание:замену бесконечно малых функций на эквивалентные им бесконечно малые функции нельзя производить в случае разности бесконечно малых функций.

1.4. Примеры вычисление пределов

Применяя теоремы о пределах, а также свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций, практическое вычисление предела функции при сводится к подстановке вместо его предельного значения и вычислению значения выражения. При этом символ не пишется.

Пример 1.

Вычислить пределы: а); б).

Решение.

а) .

На практике теоремы о пределах, свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций учитываются мысленно, решение оформляется следующим образом:

.

б) .

Если в результате подстановки вместо его предельного значения невозможно судить о результате, говорят, что имеет место неопределенность и для вычисления предела необходимо преобразование функции – говорят, что нужно “избавиться от неопределенности” или “раскрыть неопределенность”.

К основным неопределенностям относят следующие случаи, получаемые в результате подстановки:

, ,,,,,,.

В зависимости от вида неопределенности и вида функции, предел которой находят, применяют различные подходы для ее раскрытия.

Например, если неопределенность получена при вычислении предела дробно-рациональной функции (отношения двух многочленов) при , то для раскрытия неопределенности необходимо разложить на множители числитель и знаменатель дроби и сократить дробь на общий множитель . На этапе сокращения происходит раскрытие неопределенности.

Пример 2.

Вычислить предел .

Решение.

Так как при непосредственной подстановке вместо предельного значенияполучается неопределенностьи функция дробно-рациональная, разложим на множители числитель и знаменатель.

D= (–1)²– 4·1·(–6) = 1 + 24 = 25D= 1²– 4·2·(–21) = 1 + 168 = 169

;.;.

Тогда . Тогда.

Подставим вместо многочленов их разложения на множители и получим:

.

Если неопределенность получена при вычислении предела дробно-иррациональной функции при , то чтобы выделить общий множитель числителя и знаменателя , а затем сократить дробь, необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение для случая квадратного корня и на неполный квадрат суммы или разности для случая кубического корня.

Пример 3.

Вычислить пределы: а) ; б).

Решение.

а) Так как при непосредственной подстановке в функцию получается неопределенность вида , функция дробно-иррациональная и содержит корень квадратный, то для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, и воспользуемся формулой .

=

=

=.

б) Так как при непосредственной подстановке в функцию получается неопределенность вида , функция дробно-иррациональная и содержит корень кубический, то для раскрытия неопределенности домножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы для выражения в знаменателе и воспользуемся формулой .

.

Для раскрытия неопределенности получаемой при вычислении предела дробно-рациональной функции при, применяют прием вынесения аргумента самой старшей степени (числителя или знаменателя) за скобки в числителе и знаменателе и его последующее сокращение.

Пример 4.

Вычислить пределы: а) ; б) .

Решение.

а)

.

б)

=.

Если под знаком предела содержатся тригонометрические функции, то неопределенность раскрывается при помощи преобразований, приводящих к сокращению дроби и сведению получившегося выражения к первому замечательному пределу или его следствиям.

Пример 5.

Вычислить предел .

Решение.

Первый способ.

Домножим числитель и знаменатель дроби на ии воспользуемся первым замечательным пределом и его следствиями.

=.

Второй способ.

Этот же предел можно вычислить, используя эквивалентности бесконечно малых тригонометрических функций.

Неопределенность вида раскрывается сведением ко второму замечательному пределу.

Пример 6.

Вычислить предел .

Решение.

Так как при непосредственной подстановке получается неопределенность вида , воспользуемся следствием из второго замечательного предела, предварительно преобразовав функцию.

.

Неопределенность вида может сводится к неопределенности вида с помощью преобразований. Далее применяется прием раскрытия неопределенности вида.

Пример 7.

Вычислить предел .

Решение.

Подставим вместо предельное значение:

.

Для раскрытия данной неопределенности преобразуем выражение в скобках – выделим целую часть.

.

Неопределенности ,исводят к видуилис помощью преобразования функции к дроби.

Пример 8.

Вычислить пределы: а) ; б) .

Решение.

а)

.

б)

.