3.1.7. Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы вида

,

где – действительные числа,– рациональные числа (дроби) называютсяинтегралами от дифференциального бинома или интегралами Чебышева.

Интеграл от дифференциального бинома вычисляют приведением к интегралу от рациональной функции следующими подстановками:

1. Если – целое число, то применяют подстановку, где– наименьшее общее кратное знаменателей дробейи;

2. Если – целое число, то применяют подстановку, где– знаменатель дроби;

3. Если – целое число, то применяют подстановку, где– знаменатель дроби;

Во всех остальных случаях интегралы вида не выражаются через элементарные функции, т.е. «не берутся».

Пример 37.

Найти интеграл .

Решение.

Перепишем интеграл .

В данном случае показатели .

Так как – целое число, то мы имеем дело со вторым случаем и применим подстановку, где– знаменатель дроби, т.е.. Получаем:

.

3.1.8. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях вычислить неопределенный интеграл от основных классов элементарных функций, т.е. для подынтегральной элементарной функции найти первообразную функцию, которая является также элементарной функцией. Однако имеется ряд интегралов от элементарных функций, которые не выражаются через элементарные функции, т.е. не вычисляются. К таким интегралам относят интегралы вида:

, ,,,,и др.

Указанные интегралы не могут быть найдены с помощью рассмотренных выше методов интегрирования. Для их решения используют методы, изучаемые в других разделах высшей математики.

3.1.9. Вопросы для самоконтроля

1. Что называется первообразной функцией?

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Как выполняется проверка правильности нахождения неопределенного интеграла?

4. Перечислите основные свойства неопределенного интеграла.

5. Перечислите интегралы, входящие в таблицу неопределенных интегралов.

6. В чем заключается метод непосредственного интегрирования?

7. В чем заключается интегрирование методом подстановки?

8. В чем заключается метод интегрирования по частям?

9. Сформулируйте формулу интегрирования по частям.

10. Как интегрируются простейшие дроби четырех типов?

11. Какие приемы используют при интегрировании рациональных дробей?

12. Какие подстановки используют при интегрировании тригонометрических функций?

13. Какие подстановки используют при интегрировании иррациональных функций?

14. Какие подстановки используются при интегрировании дифференциального бинома

15. Какие интегралы не выражаются через элементарные функции?

3.2. Определенный интеграл

3.2.1. Интегральная сумма и определенный интеграл

Пусть функция определена и ограничена на отрезке оси .

Разобьем этот отрезок на частей, не обязательно равных, точками. Получим элементарные отрезки, где. На каждом отрезкевозьмем произвольную точкуи вычислим значение функциив каждой выбранной точке.

Составим сумму

,

которая называется интегральной суммой функции на отрезке .

Для данной функции на отрезке можно составить бесчисленное множество интегральных сумм, так как построение интегральной суммы заключается в произвольном делении заданного отрезка на элементарные отрезки и произвольном выборе точек на каждом элементарном отрезке. Обозначим через – длину наибольшего из элементарных отрезков.

Предел интегральной суммы при условии, что стремится к нулю, если этот предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка на части и от выбора в каждой части точки , называетсяопределенным интегралом от функции в пределах отдои обозначается_.

,

где – нижний предел интегрирования; – верхний предел интегрирования;

–переменная интегрирования; – подынтегральная функция;

–подынтегральное выражение.

Функция, для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Для интегрируемости достаточно, чтобы на отрезке функция была непрерывна или имела конечное число разрывов первого рода.

Если для непрерывной на отрезке подынтегральной функции может быть найдена первообразная функция, то определенный интеграл от этой функции вычисляется поформуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной на этом отрезке:

Пример 38.

Вычислить определенные интегралы: а); б).

Решение.

а) ;

б) .