14_08_18_ТАУ_1,2_Лекционный курс

K1 < K2. Пусть первая САУ устойчива в замкнутом состоянии, вторая - неустойчива (рис. 8.6).

Im

RE

ωπ

Рисунок 8.6 - Устойчивость двух систем

Если W1( P) - передаточная функция первой САУ, то передаточная функция второй САУ W2 ( P) = KW1( P) . Вторую САУ можно представить последовательной цепочкой из двух звеньев с передаточными функциями K

(усилительное звено) и W1( P) , поэтому результирующие ЛАЧХ строятся как сумма ЛАЧХ каждого из звеньев.

Поэтому ЛАЧХ второй САУ: L2 (ω) = 20lg K + L1(ω) , а ЛФЧХ:

ϕ2 (ω ) = ϕ1(ω ) .

Пересечениям АФХ вещественной оси соответствует значение фазы

ϕ = −π . Это соответствует точке пересечения ЛФЧХ линии −π координатной

L1(ω) = 20lg A1(ω) < 0 и L2 (ω) = 20lg A2 (ω) > 0 .

Сравнивая ЛАЧХ и ЛФЧХ можно заключить, что система в замкнутом

состоянии будет устойчива, если значению ЛФЧХ ϕ = −π будут

соответствовать отрицательные значения ЛАЧХ и наоборот. Запасам устойчивости по модулю H1 и H2 , определенным по АФХ соответствуют расстояния от оси абсцисс до ЛАЧХ в точках, где ϕ = −π , но в логарифмическом масштабе.

81

Особыми точками являются точки пересечения АФХ с единичной

окружностью и осью вещественных чисел. Частоты ωC1 и ωC2, при которых АФХ пересекает единичную окружность, называют частотами среза. Частоту

ωπ при которой АФХ пересекает ось вещественных чисел, называют

частотой фазового сдвига.

Если при частоте среза ωC1 фаза АФХ ϕC1 > −π (рис. 8.6, а кривая 1), то замкнутая САУ устойчива. На рис. 8.6, б это выглядит так, что пересечению ЛАЧХ горизонтальной оси соответствует точка ЛФЧХ, расположенная выше

линии ϕ = −π . И, наоборот, для неустойчивой замкнутой САУ (рис. 8.6 а кривая 2) ϕC2 < −π , поэтому при ω = ωC2 ЛФЧХ проходит ниже линии

ϕ = −π . Угол ϕ1 = ϕC1 − ( −π ) является запасом устойчивости по фазе. Этот

угол соответствует расстоянию от линии ϕ = −π до ЛФЧХ.

Исходя из сказанного, критерий устойчивости Найквиста по логарифмическим частотным характеристикам, в случаях, когда АФХ только один раз пересекает отрезок вещественной оси [−∞; −1] , можно сформулировать следующим образом. Чтобы замкнутая САУ была устойчива необходимо и достаточно, чтобы частота фазового сдвига, при которой ЛФЧХ пересекает линию −π , была больше частоты среза ωC .

Рисунок 8.7 - Устойчивость системы со сложным видом АФХ Если АФХ разомкнутой САУ имеет сложный вид (рис. 8.7), то ЛФЧХ

может несколько раз пересекать линию ϕ = −π . В этом случае применение критерия Найквиста несколько усложняется. Однако во многих случаях данной формулировки критерия Найквиста оказывается достаточно.

82

По логарифмическим амплитудно-частотным и фазовым частотным характеристикам разомкнутой системы довольно просто определить запас устойчивости по коэффициенту усиления и фазе.

Рассмотрим в качестве примера замкнутую систему регулирования, изображенную на рис. 8.8.

Рисунок 8.8 - Пример замкнутой системы регулирования Разомкнутая система включает два последовательно соединенных звена

со следующими передаточными функциями:

Для определения запаса устойчивости по амплитуде и фазе воспользуемся пакетом Matlab. В командной строке пакета зададим две передаточные функции:

H1=TF([2],[0.1 1]) ,

H2=TF([1],[4 0.5 1]) .

Поскольку звенья соединены последовательно, то для определения эквивалентной передаточной функции разомкнутой системы введем следующую строку:

h=h1×h2.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ воспользуемся функцией margin (h ) . Полученные характеристики изображены на рис. 8.9.

83

L(ω )

ωC H

ϕ (ω )

ϕ ωπ

Рисунок 8.9 - ЛАЧХ и ЛФЧК системы, изображенной на рис. 8.9

Вданном примере запас по модулю составляет 8.09 дБ и запас по фазе –

7.53градуса.

9.Расчет регуляторов в системах подчиненного регулирования

9.1.Общие сведения

Рассмотрим расчет регуляторов в системе подчиненного регулирования на примере повода постоянного тока независимого возбуждения.

Для поводов постоянного тока, как правило, применяется многоконтурная система регулирования последовательного действия (рис. 9.1).

84

где Tи - постоянная времени интегрирования регулятора.

86

Передаточная функция разомкнутого контура (рис. 9.3, б), в котором есть объект с передаточной функцией (9.2) и регулятор с передаточной функцией (9.5) имеет вид:

Передаточная функция замкнутого контура (рис. 9.3, б):

Ти s

Таким образом, включение ПИ-регулятора с передаточной функцией (9.5) последовательно с объектом управления вида (9.2) позволяет получить передаточную функцию замкнутого контура, который описывается уравнением (9.7). Переходная функция контура изображена на рис. 9.2. Как следствие, разомкнутый контур с постоянной времени TO заменен замкнутым контуром с

меньшей постоянной времени Tи .

Поскольку реальные объекты содержат как большие, так и малые постоянные времени (которые компенсировать невозможно или нецелесообразно), то в результате компенсации больших постоянных времени передаточная функция разомкнутого контура приводится к виду:

постоянная времени).

С учетом (9.9) передаточные функции разомкнутого и замкнутого контуров запишутся в виде:

87

Уравнение (9.11) описывает колебательное звено (рис. 9.4).

Рисунок 9.4 - Переходные функции колебательного звена Характер переходных процессов, которые протекают в колебательном

звене, определяется значениями TµI и Tиi . Обозначим TUI =AITµI . Тогда,

изменяя аi можно получить необходимое качество регулирования (рис. 9.4). При аi>4- процесс, близкий к апериодическому (рис. 9.4, кривая 1); при

аi = 2- колебательный процесс с перерегулированием 4.3% (рис. 9.4, кривая 2); при аi = 1- колебательный процесс с перерегулированием 15% (рис. 9.4, кривая 3).

В электроприводе оптимальным считается процесс, изображенный на рис. 9.4, кривая 2 (настройка на модульный или технический оптимум):

•перерегулирование δ = 4.3%,

•время первого достижения установившегося значения tн = 4.7tµ ,

При настройке контуров регулирования на модульный оптимум передаточная функция 1-го замкнутого контура примет вид ( A1 = 2):

88

С определенным допущением передаточная функция 2-го замкнутого

Расчет передаточных функций следующих контуров осуществляется аналогичным образом.

Определим соотношение между а и ξ для передаточной функции колебательного звена (9.12):

где ξ - коэффициент демпфирования колебаний; ωN - угловая частота собственных колебаний, имеющих место при ξ = 0.

С возрастанием коэффициента демпфирования частота, при которой

наступает резонанс, уменьшается ω р =ωп 1−ξ 2 . При ξ = 1 колебаний нет –

переходный процесс близок к апериодическому. Параметры колебательного звена, рассчитанные через а и Тµ , определятся:

89

9.3.Особенности настройки контуров регулирования

9.3.1.Объект регулирования в виде колебательного звена

Предположим, что после настройки первого контура регулирования его передаточная функция описывается колебательным звеном вида (9.11).

Тогда структурная схема второго контура регулирования примет следующий вид:

Рисунок 9.5 - Контур регулирования с объектом регулирования в виде колебательного звена

Рассмотрим правомерность замены (для расчета регулятора) данного

1

а1Тµ s+1

а1Тµ2s2 .

Условие настройки второго контура на модульный оптимум:

Передаточная функция регулятора второго контура:

1

Wр2(s) = . (9.20)

а1а2Тµ s

При передаточной функции регулятора вида (9.20) второй контур будет настроен на модульный оптимум при а2 = 2.

(т.е. в случае, когда объектом регулирования является контур, оптимизированный по модульному оптимуму) δ = 8%. При наличии в объекте

90