14_08_18_ТАУ_1,2_Лекционный курс

угол открытия задвижки максимален, то дифференцирующая часть регулятора оказывает слабое влияние на время заполнения смесителя.

Модель системы управления ленточным дозатором (рис. 11.18) представляет собой замкнутую структуру, состоящую из следующих компонентов:

•контур регулирования положения заслонки, которому в модели соответствуют усилитель (блок Gain), интегратор (блок Transfer Fcn), цепь обратной связи и узел сравнения;

•ПИД - регулятор (PID Controller);

•звено ограничения угла поворота вала заслонки (блок Saturation);

•цепь обратной связи и узел сравнения.

В модель также введены источник входного сигнала в виде единичного скачка (блок Step), осциллограф (блок Scope) и блок NCD Outport (Signal Constrain), подключенный к выходу системы. Блок NCD Outport (Signal

K p = 0, Ki = 0, Kd = 0 и зададим начальные параметры блока PID Controller

(рис. 11.14), вводя в поле параметра Proportional переменную K P , в поле

Integral - KI , а в поле Derivative - Kd .

Таким образом, сформирована Simulink-модель объекта управления, и теперь можно приступить к заданию ограничений, которые накладываются на выход системы.

Задание ограничений осуществляется аналогично тому, как это делалось при оптимизации регулятора контура управления заслонкой (раздел 11.12.1).

Далее выбираем пункт меню Optimization>Parameters. При этом открывается окно (рис. 11.19). В поле Tunable Variables необходимо перечислить имена всех настраиваемых переменных К p, Кi , Кd . В этом

окне также изменим значение поля Discretization interval на 0.5 и поставим "галочку" напротив поля Stop optimization as soon as the constraints are achieved (прекращение процесса оптимизации после того, как выполнены все ограничения). После внесения указанных изменений нажимаем кнопку Done.

131

Рисунок 11.19 - Настройка параметров оптимизации и интервала дискретизации

Теперь все готово для начала процесса оптимизации. Нажимаем на кнопку Start и наблюдаем за процессом. Поиск иллюстрируется начальной, промежуточными и конечной кривыми переходного процесса. В командном окне MATLAB отображается информация о ходе оптимизации.

На рис. 11.20, 11.21 изображены конечные оптимизационные кривые при отработке заданий mcз =1 кг (рис. 11.20) и mcз = 25 кг (рис. 11.21).

Оптимизация регуляторов выполнена применительно к транспортному запаздыванию τ = 50 C .

Рисунок 11.20 - Переходные процессы в системе управления ленточным дозатором при mcз =1 кг

132

Рисунок 11.21 - Переходные процессы в системе управления ленточным дозатором при mcз = 25 кг

Как следует из кривых, коэффициент передачи интегральной части ПИД - регулятора равен нулю. Это естественно, поскольку объект управления содержит интегратор. Как указывалось ранее, дифференциальная часть ПИД - регулятора при отработке малых заданий, когда угол открытия задвижки меньше максимального значения, оказывает более сильное влияние на длительность переходного процесса.

11.2.3. Оптимизация параметров в условиях неопределенности

Задача оптимизации может быть усложнена, если есть неопределенные параметры. К таким параметрам относятся величины, точные значения которых неизвестны или которые могут изменяться.

Решим задачу оптимизации, учитывая то, что время чистого запаздывания τ находится в пределах – от 46 до 54 с. Необходимо синтезировать регулятор, который обеспечит выполнение требований, предъявляемых к замкнутой системе, при любых значениях параметра τ из указанного диапазона.

Для решения поставленной задачи, инициализируем в командном окне MATLAB переменную T0 = 50 с и изменим параметры блока Transport Delay: параметр Time Delay (рис. 11.22).

133

Рисунок 11.22 - Настройка параметров блока Transport Delay

Выберем пункт меню Optimization>Uncertainty окна блока NCD Outport. Появится окно Uncertain Variables, предназначенное для задания неопределенностей модели (рис. 11.23).

Рисунок 11.23 - Задание интервала неопределенности Здесь необходимо указать имена переменных, значения которых

варьируются, их верхние и нижние границы, а также указать какие границы неопределенных переменных учитывать при параметрической оптимизации. Установим следующие значения (рис. 11.23):

•поле Uncertain variables - t0,

•поле Lower bounds - 46 с,

134

частотной и фазовой частотной характеристик разомкнутой системы (диаграмм Боде по зарубежной терминологии).

Низкочастотная часть ЛАЧХ определяет точность системы, среднечастотная (вблизи частоты среза ωc ) – устойчивость и качество переходного процесса, высокочастотная – чувствительность к помехам. Если система содержит интегратор, низкочастотная часть имеет ненулевой наклон (20 дБ на декаду для одного интегратора), постоянный сигнал отслеживается без установившейся ошибки. Для системы с двумя интеграторами ЛАЧХ имеет в области низких частот наклон 40 дБ на декаду, без установившейся ошибки отслеживается не только постоянный, но и линейно возрастающий сигнал. Более сложные требования к точности требуют, чтобы ЛАЧХ не заходила в некоторые запретные области.

Запас устойчивости по амплитуде gm (в дБ) – это расстояние от ЛАЧХ до горизонтальной прямой LM = 0 дБ на частоте, на которой фазовая

характеристика пересекает прямую ϕ = −180 . На этой частоте система должна иметь коэффициент усиления меньше 1 (или LM(ω) < 0 ).

Запас устойчивости по фазе ϕm (в градусах) – это расстояние от

частотной характеристики до горизонтальной прямой ϕ = −180 на частоте среза ωc . На этой частоте фазовая характеристика должна иметь значение

больше −180 .

Допустимым считается запас по амплитуде не менее 6 дБ и запас по фазе не менее 30 градусов.

«Подъем» ЛАЧХ означает увеличение коэффициента усиления контура, фазовая характеристика при этом не изменяется. Точность системы (при отработке низкочастотных сигналов) повышается, однако увеличивается и влияние высокочастотных помех. Поскольку частота среза увеличивается, повышается быстродействие системы. При этом переходные процессы приобретают выраженный колебательный характер, запасы устойчивости уменьшаются, при дальнейшем увеличении коэффициента усиления теряется устойчивость.

Обычно требуется, чтобы система имела высокую точность (большой коэффициент усиления по контуру) для низких частот и подавляла высокочастотные помехи (имела низкое усиление в области высоких частот).

136

Частота среза выбирается исходя из требований к быстродействию. Таким образом, типичная ЛАЧХ имеет вид, показанный на рисунке. Серым цветом показаны запретные области, которые определяются требованиями к точности и подавлению помех.

L ( jω)

M

12-16 дБ

12-16 дБ

ω

C

ω

Для обеспечения хорошего качества переходных процессов рекомендуется, чтобы ЛАЧХ пересекала ось L = 0 с наклоном 20 дБ/дек. Это объясняется тем, что наклон 20 дБ/дек, соответствующий апериодическому звену, приводит к наименьшей колебательности переходного процесса. Точки перехода от низкочастотной части к среднечастотной и далее к высокочастотной должны отстоять от оси L = 0 на 12-16 дБ.

В общем случае строится желаемая ЛАЧХ Lж ( jω) , удовлетворяющая требованиям к системе, затем ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства определяется как разность между и Lж ( jω) и ЛАЧХ существующей разомкнутой системы.

Разработку устройств с помощью ЛАЧХ удобно проводить, построив предварительно границы желаемой области ЛАЧХ разомкнутой системы. Различают две предельные границы такой желаемой области: низкочастотную и высокочастотную (рис. 8.10). Первая строится в соответствии с требованиями, предъявляемыми к точности работы системы в установившемся режиме, а вторая – исходя из требований, предъявляемых к помехоустойчивости.

137

Рисунок 8.10 – Типичная ЛАЧХ Формирование границы точности работы системы в установившемся

режиме связано с заданной точностью воспроизведения задающего воздействия. В ряде случаев в задании на проектирование систем автоматизации в качестве задающего воздействия выступает низкочастотный гармонический сигнал.

Частота задающего сигнала может принимать любые значения в диапазоне от нуля до верхнего предельного значения ωv , а его амплитуда на

амплитуды, в задании также указывается величина установившейся ошибки

σдоп выходного сигнала.

Условие требуемой точности воспроизведения данного гармонического сигнала применительно к ЛАЧХ разомкнутой системы L(ω) запишется в виде:

Aвыхωv −σдоп

L(ω ) ≥ 20lg , 0 ≤ ω ≤ ωV .

Aвхωv

138

Уравнение предельной границы точности работы системы в установившемся режиме:

L(ω ) = 20lg Aвыхωv −σдоп , ω = ωv . Aвхωv

Проектируемая система будет обеспечивать требуемую точность отработки задающего сигнала, если ЛАЧХ разомкнутой системы в диапазоне частот 0 ≤ ω ≤ ωV будет располагаться не ниже такой границы точности.

Наряду с заданной точностью воспроизведения гармонического воздействия система должна, как правило, безошибочно воспроизводить в установившемся режиме постоянное задающее воздействие, то есть должна обладать астатическими свойствами. Следовательно, низкочастотный участок ЛАЧХ проектируемой разомкнутой системы должен иметь наклон, по меньшей

мере, равный −20дБ дек . Если желаемый порядок астатизма равен единице, то

граница точности работы в установившемся режиме в диапазоне частот гармонического задающего сигнала должна иметь вид прямой, выходящей из

−20дБ дек .

Таким образом, низкочастотная часть ЛАЧХ разомкнутой системы определяет статическую точность системы в замкнутом состоянии:

горизонтальная линия над осью частот говорит о наличии статической

1

ошибки со значением + ,

A(0) 1

уклону −20дБ дек соответствует астатизм первого порядка (система обеспечивает нулевую ошибку при постоянном входном воздействии),

уклону −40дБ дек соответствует астатизм второго порядка (система обеспечивает нулевую ошибку слежения за линейно возрастающим

входным воздействием).

Динамические свойства (качество переходного процесса) определяются среднечастотным диапазоном ЛАЧХ, здесь главную роль играет частота среза

139

ωc , с ее увеличением возрастает быстродействие системы. Для обеспечения хорошего качества переходных процессов рекомендуется, чтобы ЛАЧХ

пересекала ось частот с наклоном дек и протяженность этого участка должна составлять примерно одну декаду. Это объясняется тем, что наклон

дек , соответствующий апериодическому звену, приводит к

наименьшей колебательности переходного процесса. Точки перехода (излома асимптотической ЛАЧХ) от низкочастотной части к среднечастотной и далее к высокочастотной должны отстоять от оси частот на 12-16 дБ.

Вторая граница желаемого расположения ЛАЧХ разомкнутой системы (граница робастности) формируется в соответствии с требованиями помехоустойчивости. Это требование обусловлено наличием помех и высокочастотных шумов датчиков, измеряющих выходное воздействие. Пусть шумы занимают спектр частот, лежащий выше предельной частоты ωS ,

заметно превышающий предельную частоту ωv спектра задающего воздействия. Амплитуда сигнала шума на предельной частоте не превышает значения vsmax . Допустимая ошибка по шуму равна σsдоп.

Условие малого влияния шума на измеряемую величину можно записать в виде:

L(ω ) ≤ 20lg vsmax , ω ≥ ωS .

σsдоп

Вэтом случае верхняя предельно допустимая граница робастности, называемая также границей помехоустойчивости, определится:

L(ω ) = 20lg vsmax , ω = ωS . σsдоп

Для того, чтобы проектируемая система подавляла в достаточной степени шум, ее ЛАЧХ должна проходить не выше границы помехоустойчивости на частотах измерения шума. Чем меньшие значения принимает ЛАЧХ системы в области высоких частот, тем меньшее влияние на управляемую величину оказывают шумы и тем выше робастность (грубость) системы.

140