1.6. Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно представить в виде суммы дискретных гармонических колебаний или непрерывного спектра этих колебаний. Поэтому изучают поля при гармонических воздействиях. Такие поля называют монохроматическими (одноцветными).

Рассмотрим некоторый гармонический процесс, который характеризуется следующей функцией (t):

(t) = Ψ_mcos(t + ), (1.23)

где  = 2/Т – угловая частота;  – начальная фаза; Ψ_m – амплитуда гармонического процесса.

В соответствии с методом комплексных амплитуд вместо действительной функции (t), меняющейся во времени по гармоническому закону, рассматривается комплексная функция следующего вида:

, (1.24)

где – мнимая единица;– комплексная амплитуда функции(t). Если комплексная амплитуда известна, то

. (1.25)

Вычислим производную по времени от функции .

.

Из последней формулы видно, что операция дифференцирования над комплексной функцией заменяется умножением наi.

Из формул (1.24) и (1.25) видно, что в комплексной амплитуде зак­лючена вся информация об амплитуде и начальной фазе действительной функ­ции(t). Если к тому же известна частота гармонического процесса, то фор­мула (1.25) позволяет легко определить действительную функцию (t). Отсюда следует, что при решении конкретных (линейных) задач электродинамики можно рассматривать комплексные функции вида (1.24). При этом сам процесс решения задач существенно упрощается, так как операция дифференцирования над комплексной функцией заменяется умножением наi.

Изложенное выше остается справедливым и для векторного случая.

Рассмотрим гармонический процесс, который характеризуется векторной гармонической функцией следующего вида:

, (1.26)

где _x, _y _z – начальные фазы, а A_xm, A_ym, A_xm – амплитуды соответствующих проекций вектора .

В соответствии с методом комплексных амплитуд рассмотрим комплексный вектор:

,

где

(1.27)

называется комплексной амплитудой векторной гармонической функции (1.26).

Отметим, что в формуле (1.27) .

Для векторной гармонической функции также имеют место следующие соотношения:

, (1.28)

. (1.29)

Отметим еще раз, что решение задач электродинамики для монохроматических полей значительно упрощается при использовании комплексных векторов. Это упрощение, как уже отмечалось, связано с наличием формулы (1.29).

1.7. Уравнения Максвелла для комплексных векторов

электромагнитного поля

Уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами. Пусть сторонние источники электромагнитного поля являются гармоническими. Очевидно, что и возбужденные ими поля также будут гармоническим, т.е. могут быть записаны в виде (1.26). Как отмечалось в предыдущем параграфе в этом случае вместо действительных векторов вида (1.26) можно использовать комплексные векторы вида (1.27).

Получим уравнения, связывающие между собой комплексные векторы электромагнитного поля для случая линейной изотропной среды. Для этого рассмотрим систему уравнений электродинамики в дифференциальной форме

, ,,(1.30)

совместно с материальными уравнениями

, ,. (1.31)

Пусть среда является однородной. Подставим материальные уравнения (1.31) в уравнения Максвелла (1.30). Тогда получим следующие уравнения:

, ,,.

Подставим в последние уравнения следующие равенства:

, . (1.32)

Учитывая формулу (1.29) и тот факт, что операцию Re можно вынести за знак операторов rot и div, получаем следующие соотношения:

, ,,. (1.33)

Соотношения (1.33) являются уравнениями Максвелла для комплексных векторов электромагнитного поля. Так как , а, то в уравнениях (1.33) величинуможно сократить. В этом случае получим, что комплексные амплитуды векторов электромагнитного поля, т. е. величинытакже удовлетворяют уравнениям (1.33). Отметим, что уравнения вида (1.33) в литературе часто называютуравнениями Максвелла в комплексной форме.

Нетрудно показать, что четвертое уравнение системы (1.33) является следствием второго уравнения, а третье (для среды без потерь) – первого. В этом случае система уравнений Максвелла сводится к двум уравнениям:

(1.34)

для комплексных векторов или

(1.35)

для комплексных амплитуд векторов электромагнитного поля.