Приложение е математический аппарат электродинамики

В настоящем приложении приводятся основные понятия и формулы, касающиеся комплексных чисел, векторной алгебры и векторного анализа.

Е.1. Комплексные числа

Рассмотрим комплексную плоскость (рис. Е.1). Каждой точке комплексной плоскости соответствует комплексное число , которое можно представить в алгебраической либо показательной формах:

, ,

где – действительная часть комплексного числа; – мнимая часть комплексного числа; i – мнимая единица, определяемая формулами

, .

Из рис. Е.1 и вышеприведенных формул следуют соотношения:

, ,

, .

Эти формулы позволяют совершить переход от алгебраической формы записи комплексного числа к показательной форме и, наоборот – от показательной к алгебраической.

Сложение (вычитание) комплексных чисел ипроизводится в соответствии с формулами:

.

Умножение комплексных чисел ипроизводится в соответствии с формулами:

.

Деление комплексных чисел ипроизводится в соответствии с формулами:

.

Е.2. Векторная алгебра

Рассмотрим вектор . Его можно представит в общем (некоординатном) виде как, где– орт (единичный вектор), показывающий направление вектора;– модуль (длина) вектора.

Вектор также можно представить в виде суммы трех взаимно перпендикулярных векторов.

В декартовой системе координат (x, y, z) это представление имеет вид

.

В цилиндрической системе координат (,,) это представление имеет вид

,

где – орты цилиндрической системы координат (см. рис. Е.2);, – проекции векторов на соответствующие направления цилиндрической системы координат.

В сферической системе координат (,,) это представление имеет вид

,

где – орты сферической системы координат (см. рис. Е.3);, – проекции векторов на соответствующие направления сферической системы координат.

Рассмотрим векторы и. Скалярное и векторное произведение этих векторов определяются формулами:

,

где – угол между векторами.

,

где – единичный вектор нормали к плоскости, содержащей векторыи, причём,ивзаимно перпендикулярны и образуют “правую тройку”.

Пусть векторы и, представлены через свои проекции в декартовой системе векторов

, .

В этом случае скалярное и векторное произведение векторов и, можно найти по формулам:

,

.

Аналогичные представления имеют место для цилиндрической, сферической и других ортогональных систем координат.

Рисунок Е.2 – Цилиндрическая система координат

Рисунок Е.3 – Сферическая система координат

Е.3. Векторный анализ

Рассмотрим операции над скалярной функцией и векторной функциейв декартовой, цилиндрической и сферической системах координат.

Векторный оператор “набла” в декартовой системе координат определяется по формуле:

.

Градиент скалярной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

,

,

.

Дивергенция (расходимость) векторной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

,

,

.

Скалярный оператор Лапласа функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

,

,

.

Ротор (вихрь) векторной функции определяется в соответствующих системах координат по следующим формулам:

,

Е.4. Интегральные формулы векторного анализа

Теорема Остроградского-Гаусса

.

Теорема Стокса

.

Теорема Грина

.

В интегральных формулах приняты следующие обозначения:

, – единичный вектор внешней нормали к поверхностиS, которая ограничивает объем ;,– единичный вектор касательной к контуруL, на который опирается поверхность S.

Е.5. Дифференциальные формулы векторного анализа

,

,

,

,

,

,

.

*⁾Здесь и далее последняя цифра индекса при величинахНилиЕравна числу полуволн стоячей волны, укладывающихся вдоль осирезонатора