- •157 Техническая электродинамика
- •Введение
- •Раздел 1 теоретические основы электродинамики
- •1.1. Источники электромагнитного поля
- •1.2. Векторы электромагнитного поля
- •1.3. Материальные уравнения. Классификация сред
- •1.4. Уравнения Максвелла в дифференциальной и интегральной
- •1.5. Граничные условия для векторов электромагнитного поля
- •1.6. Метод комплексных амплитуд
- •1.7. Уравнения Максвелла для комплексных векторов
- •1.8. Комплексная диэлектрическая и магнитная
- •1.9. Энергия электромагнитного поля
- •Раздел 2 распространение электромагнитных волн в свободном пространстве
- •2.1. Решение уравнений Максвелла для комплексных амплитуд
- •2.2. Плоские электромагнитные волны в среде без потерь
- •2.3. Плоские электромагнитные волны в среде с тепловыми потерями
- •2.4. Поляризация электромагнитных волн
- •2.5. Распространение волн в анизотропных средах
- •Раздел 3 электромагнитные волны в направляющих системах
- •3.1. Типы направляющих систем
- •3.2. Классификация направляемых волн
- •3.3. Особенности распространения волн в направляющих системах
- •3.4. Волны в прямоугольном волноводе
- •3.5. Волны в круглом волноводе
- •3.6. Волны в коаксиальном кабеле
- •3.7. Волны в двухпроводной и полосковой линиях
- •3.8. Диэлектрический волновод. Световод
- •3.9 Направляющие системы с медленными волнами
- •3.10. Затухание волн в направляющих системах
- •Раздел 4 излучение электромагнитных волн
- •4.1. Понятие элементарного электрического излучателя
- •4.2. Поле элементарного электрического излучателя в дальней зоне
- •4.3. Мощность и сопротивление излучения элементарного электрического излучателя
- •4.4. Диаграмма направленности элементарного электрического излучателя
- •4.5. Перестановочная двойственность уравнений Максвелла
- •4.6. Элементарный магнитный излучатель и его поле излучения
- •4.7. Принцип эквивалентности. Принцип Гюйгенса
- •4.8. Принцип взаимности
- •4.9. Параметры антенн
- •4.10. Симметричный электрический вибратор
- •4.11. Директорные антенны
- •4.12. Зеркальные антенны
- •Раздел 5 распространение электромагнитных волн
- •5.1. Законы Снеллиуса. Коэффициенты Френеля
- •5.2. Явление полного прохождения волны через границу двух сред
- •5.3. Явление полного отражения от плоской границы раздела
- •5.4. Структура электромагнитного поля при полном
- •5.5. Поле вблизи поверхности хорошего проводника. Приближенные
- •5.6. Дифракция электромагнитных волн
- •5.7. Параметры Земли. Учет рельефа земной поверхности
- •5.8. Параметры тропосферы. Влияние тропосферы на распространение радиоволн. Тропосферная рефракция
- •5.9. Строение ионосферы. Понятие критической и максимально
- •5.10. Классификация радиоволн по способам распространения
- •5.11. Классификация радиоволн по диапазонам
- •5.12. Расчет действующего значения напряженности поля. Понятие
- •5.13. Особенности распространения радиоволн различных диапазонов
- •Литература
- •Приложение а вывод уравнений максвелла в дифференциальной форме
- •Приложение в вывод граничных условий для векторов электромагнитного поля
- •Приложение с волноводные устройства
- •Режимы работы линий передачи конечной длины. Согласование линии с нагрузкой
- •Приложение е математический аппарат электродинамики
5.5. Поле вблизи поверхности хорошего проводника. Приближенные
граничные условия. Явление поверхностного эффекта
Пусть плоская волна падает под углом на плоскую границу раздела двух сред, из которых первая – идеальный диэлектрик, а вторая имеет тепловые потери. В этом случае k1 – вещественная величина, а =2 - i2 – комплексная величина. Рассмотрим практически важный случай, когда вторая среда является хорошим проводником (металлом), для которого
, . (5.27)
Рассмотрим свойства электромагнитного поля вблизи поверхности проводника. При этом, как и в предыдущем разделе, ограничимся только случаем нормальной поляризации.
Из формулы (5.10) следует, что в этом случае величина не является действительной. Найдем действительный угол преломления волны, обозначив его. Для этого надо преобразовать выражение (5.3). Подставляя в (5.3) соотношения (5.10) и (5.27), получаем, что
. (5.28)
Из последней формулы видно, что . Это означает, что при любом угле падения на поверхность проводника (металла) преломленная волна распространяется вдоль нормали к поверхности раздела.
Этот факт позволяет получить приближенные граничные условия, которые в литературе часто называют граничными условиями Леонтовича-Щукина. Эти условия имеют следующий вид:
. (5.29)
где – комплексное волновое сопротивление второй среды;– орт нормали, направленный из второй среды в первую;– касательные составляющие векторов электромагнитного поля на поверхности проводника со стороны первой среды.
Граничное условие Леонтовича-Щукина значительно упрощает решение многих задач электродинамики, таких, например, как задачи теории поверхностных антенн, задачи распространения волн вдоль поверхности Земли. Это связано с тем, что при использовании условий Леонтовича-Щукина нет необходимости рассматривать поле во второй среде, информация о нем учитывается через величину , входящую в граничное условие.
Из формулы (5.28) следует еще один важный для практики факт. Амплитуда преломленной волны быстро убывает по экспоненте с удалением от границы раздела и волна фактически существует лишь в тонком слое вблизи поверхности раздела. Это поверхностный слой или спин-слой. Рассмотрим глубину проникновения поля в проводник. Для хорошего проводника она определяется следующей формулой (см. подразд. 2.3)
.
Из приведенной формулы видно, что глубина проникновения поля в проводник зависит от частоты. В табл. 5.1, в качестве примера, приведена зависимость глубины проникновения от частоты для меди (2 = 107 См/м).
Из таблицы видно, что на высоких частотах весь ток фактически сосредоточен возле поверхности проводника. Это явление называется поверхностным эффектом или скин-эффектом.
Таблица 5.1 – Зависимость глубины проникновения от частоты
f |
3104 МГц |
300 МГц |
3 МГц |
30 кГц |
50 Гц |
= c/f |
1 см |
1 м |
100 м |
10 км |
6000 км |
|
0,0004 мм |
0,004 мм |
0,04 мм |
0,4 мм |
1 см |
В результате поверхностного эффекта как бы уменьшается сечение провода: эффективное сечение оказывается меньше геометрического. Кроме этого поверхностный эффект уменьшает магнитную энергию внутри проводника, что вызывает уменьшение индуктивности провода.
Будем считать, что весь ток в проводнике течет по его поверхности. Тогда, используя закон Ома в дифференциальной форме, можно записать, что
, (5.30)
где – вектор поверхностной плотности эквивалентного тока, текущего по поверхности проводника;– касательная составляющая вектора напряженности электрического поля на поверхности проводника.
Коэффициент пропорциональности в (5.30) принято называть поверхностным сопротивлением проводника.
Из граничных условий для идеального проводника (см. подразд. 1.6) следует, что
,
где – касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля на поверхности проводника.
Подставим последнюю формулу в (5.30) и сравним полученное выражение с формулой (5.29), тогда получаем, что.
.
Активная часть поверхностного сопротивления проводника
.
Из этой формулы видно, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника толщиной без учета поверхностного эффекта. Это объясняет термин "глубина проникновения".