big_doc_LKG

Фактори , , , – змінні величини, які можуть набувати при проведенні експерименту задане значення і визначатися кількісно.

Рівень – кожне значення, якого набуває фактор. Фіксований набір рівнів факторів визначає один із можливих станів розглядуваної системи. Одночасно цей набір представляє собою умови проведення одного із експериментів.

Факторний простір – багатовимірний простір, створений сукупністю певних точок, визначених для фіксованого набору рівнів факторів в одному досліді.

Відгук – ендогенна (зумовлена внутрішніми причинами) випадкова величина, яка за припущенням залежить від факторів.

Функція відгуку – показник досліджуваного явища у вигляді математичної моделі , що являє собою залежність математичного очікування від факторів.

Поверхня відгуку – геометричний образ функції відгуку (математичної моделі), побудований у факторному просторі, на осях якого відкладені значення досліджуваних факторів. Функція відгуку задається за допомогою ліній постійного значення. Якщо досліджується вплив двох факторів на один показник, то поверхня відгуку має геометрич-

ну інтерпретацію (рис. 8.1).

Якщо в експерименті бере участь більше, ніж два фактори, то для зображення поверхні відгуку використовують двовимірні перерізи факторного простору, тобто фактори, окрім двох, що входять у переріз, фіксують на постійних рівнях, а ці два фактори змінюють на декількох рівнях.

Область дії – область можливих значень факторів при експериментуванні.

Область планування – область значень факторів , в якій знаходяться точки, що відповідають умовам проведення дослідів використовуваного плану експерименту. Якщо область планування задається інтервалами можливого змінювання факторів (), то вона являє собою гіперпаралелепіпед (за відповідного масштабування – гіперкуб). У деяких випадках область планування зручніше задавати у вигляді гіперкулі.

При оптимізації системи або процесу необхідно визначити такі рівні факторів, при яких функція відгуку набуває екстремальних

значень. У такому разі ендогенну величину називають параметром оптимізації. Параметр оптимізації повинен мати чітке фізичне чи

8.2. Основні принципи планування експерименту

Методи планування експерименту базуються на таких принципах.

1.Відмова від повного перебору можливих вхідних станів. В

теорії планування експерименту свідомо відмовляються від повного перебору вхідних станів. Вибір кількості рівнів варіювання по кожному фактору безпосередньо поєднується з вибором виду функції відгуку або, точніше, з вибором вигляду її апроксимації.

2.Принцип послідовного ускладнення математичної моделі.

Увідповідності з цим принципом при відсутності апріорної інформації про властивості функції відгуку немає сенсу відразу будувати складну модель об’єкта.

Логіка експериментування тут така: постановка невеликої кількості дослідів для отримання простішої моделі і перевірка її придатності; якщо модель задовольняє дослідника, експеримент закінчується. Якщо модель є непридатною, необхідно здійснити наступний етап (цикл) експериментування: постановка нових (допоміжних) дослідів, що дозволяють отримати більш складну модель, її перевірка і т. д. доти, доки не буде отримана модель, яку дослідник визнає якісною. В

таких послідовних методах необхідною умовою є перевірка якості

результатів на кожному етапі дослідження. В теорії планування експерименту для перевірки використовуються різні, строго математично обґрунтовані статистичні процедури, обумовлені деякими імовірнісними властивостями випадкових перешкод (шуму).

3.Принцип зіставляння з шумом (випадковими перешкода-

ми). Точність отримуваної за результатами експерименту моделі обов’язково повинна бути зіставленою з інтенсивністю випадкової перешкоди, що діє на результат вимірювання відгуку. За інших однакових умов, чим менший рівень перешкоди, тим точнішою повинна бути модель; чим вищий рівень перешкоди, тим в більшій ступені можна очікувати, що більш проста (і зазвичай, менш точна) модель виявиться

дієздатною.

Задачі визначення придатності (адекватності) тієї чи іншої побудованої моделі, як і задачі уточнення виду моделі і перевірки правильності передумов, за якими вона була отримана, розв’язуються за допомогою стандартних статистичних процедур (критеріїв).

4. Принцип рандомізації (зведення до випадковості) полягає в такій організації експерименту, яка дозволяє зробити випадковими

Оскільки істинний опис цієї функції встановити неможливо, то її подають наближено за допомогою апроксимуючого полінома – відрізку ряду Тейлора, в який розкладається невідома залежність в околі точки з нульовими координатами

, (8.2)

де – значення функції відгуку в початку координат;

; ;

.

Апроксимуючий поліном (8.2) беруть першого, другого, третього степеня, причому порядок його змінюється залежно від етапу експерименту або специфіки розв’язуваної задачі. Коефіцієнти полінома (8.2) не можуть бути знайдені теоретично. Їх визначають експериментально, проводячи досліди при деяких фіксованих значеннях фактора.

Після опрацювання результатів експерименту апроксимуючий поліном (8.2) фактично замінюється рівнянням регресії

, (8.3)

де коефіцієнти , , , є статистичними оцінками невідомих теоретичних коефіцієнтів , , , .

Коефіцієнти регресії розраховується методами математичної статистики і представляють собою приблизну оцінку теоретичних коефіцієнтів , , , в рівнянні (8.2). Отже, рівняння (8.3) описує дослі-

джуваний об’єкт (процес) з певним ступенем точності. Воно дає можливість встановити дію на функцію відгуку не тільки кожного з факторів, але і будь-якої їх комбінації.

Побудова математичної моделі у вигляді рівняння (8.3) здійснюється поетапно у такій послідовності.

Після збирання статистичної інформації для кожного і-го фактора встановлюють підобласть проведення експерименту, яка включає:

–верхній рівень і-го фактора ;

–нижній рівень і-го фактора ;

–основний (середній) рівень і-го фактора

Для спрощення обчислень в дослідженнях використовуються відносні (кодовані) значення рівнів факторів. При цьому основний рівень приймається таким, що дорівнює нулю, верхній (+1), нижній

(–1).

Кодування здійснюється за формулою

Кількість усіх точок факторного простору при дворівневій системі змінювання факторів, серед яких можна експериментально визначити значення функції відгуку, дорівнює , де m – кількість факторів.

3. Вибір виду функції відгуку. Пошук математичної моделі функції відгуку здійснюють у класі алгебраїчних поліномів. Математичну модель будують шляхом підбору полінома, який відповідав би експериментальним точкам. Нехай вивчається вплив кількісних факторів на деяку реакцію (функцію відгуку) у відведеній для експериментування локальній області факторного простору , обмеженій значенням факторів .

Функцію реакції з деяким ступенем точності можна представити у вигляді полінома степені від змінних, який містить коефі-

цієнтів. Ступінь цього наближення залежить від кількості членів полінома, які визначають методом підбору.

Спочатку перевіряється можливість лінійної апроксимації функції відгуку у кодованих змінних

де – реакція, яка відповідає j-й точці плану

().

Якщо при проведенні дослідів можливі помилки вимірювання ендогенної змінної y, або вона є випадковою і оцінюється за допомогою математичного очікування, то за розрахункове значення функції відгуку в деякій точці факторного простору беруть середнє значення цього показника, здобутого опрацюванням результатів встановленої кількості дублювань експериментів (паралельних дослідів). Кількість пара-

лельних дослідів визначається статистичними методами в залеж-

ності від прийнятої надійності і точності очікуваних результатів. Виписавши аналогічні співвідношення для всіх точок плану

, отримаємо матрицю планування розмірністю

, (8.12)

Етап 3. Побудова плану експериментів. План експериментів для вибраної моделі планування у вигляді алгебраїчних поліномів (8.7) – (8.9) будується шляхом варіювання кожного із факторів () на декількох рівнях відносно початкової точки , яка представляє собою центр експерименту.

Факторний експеримент пов’язаний з варіюванням одночасно усіх факторів і перевіркою достовірності результатів математикостатистичними методами. При плануванні експериментів, щоб отримати зручні для аналізу поліноми (функції відгуку), достатньо змінювати фактори на двох, трьох чи п’яти рівнях.

В лінійних (8.7) і неповних квадратичних (8.8) моделях функції відгуку використовуються плани експерименту першого порядку з варіюванням усіх факторів на двох рівнях. В квадратичних моделях (8.9) використовують плани другого порядку з варіюванням факторів на трьох рівнях.