Из задач о лжецах и рыцарях: «аборигены говорят либо истину, либо ложь»

3. Импликация – это сложное суждение, состоящее из двух простых, связанных логической связкой «если…, то…».

Примеры:

Если предохранитель плавится (1), то лампа не гаснет (0).

Если воду нагреть до 100 С (1), то она закипит (1).

Если Солнце и звезда (1), и не звезда (0),то Луна сделана из зеленного сыра (0).

Если снег не белый (0), трава бывает только черной (0).

Логически невозможное высказывание влечет любое высказывание.

Заполним таблицу импликации

А	В	А → В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 1 1

Из таблицы следует, что импликация - это сложное суждение, ложное (0) только в одном случае: если из истинного основания получают ложное следствие. При этом сужденииАназывается основанием, а суждениеВследствием или выводом.

Толкованием импликации занимался Аристотель.

Эта операция хорошо срабатывает в релейных и информационных схемах. Она не всякий раз сообразуется со здравым смыслом, плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

Например: «Если на Солнце есть жизнь(0), то дважды два равно четыре(1)». «Если Волга - озеро(0), то Токио большой город(1)». Эти высказывания не имеют общего содержания, а поэтому и не имеют логического следования, это приводит к парадоксам. На парадоксы импликации издавна обращали внимание философы и логики. (Д. Скотт, К. Льюис, В. Аккерман, А.Андерсон). Постепенно им удалось исключить парадоксы импликации введением релевантной (уместной) импликации, которая разрешает связывать только высказывания, имеющие какое-то общее содержание.

4. Эквиваленция (двойная импликация) – это сложное суждение, состоящее из двух суждений, связанных двойной условной зависимостью.

Например:"Если и только если человек награжден орденами и медалями(А), то он имеет право на ношение соответствующих орденских планок(В)".

Заполним таблицу эквиваленции

А	В	А ↔В
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 0 1

Эквиваленцию можно представить знаком А≡В. Она включает в себя две импликации А ↔ = (А→В)۸ (В→А).

Под такую запись эквиваленции таблица примет следующий вид:

А	В	А → В	В → А	۸
1 1 0 0	1 0 1 0	1 0 1 1	1 1 0 1	1 0 0 1

Из таблицы следует, что при истинности обеих импликаций эквиваленция будет истинной(первая и последняя строки последней колонки таблицы), что естественно совпадает с предыдущей таблицей.

Условие «если и только если…, то…» в обыденном языке используется редко. Эквиваленция используется, как правило, в математике.

Например: параллелограмм будет ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали будут взаимно перпендикулярны.

5. Отрицание – логическая операция, с помощью которой из исходного истинного высказывания получаем ложное, а из ложного - истинное.

Примеры:

1) Так как высказывание” 10-четное число” истинно, то его отрицание” неверно, что 10-четное число” ложно.

А
1	0
0	1

2) Все птицы улетают осенью в теплые края(0). Неверно, что все птицы улетают осенью в теплые края(1).

Все виды сложных суждений используются в обычных рассуждениях и правовых контекстах как самостоятельно, так и комбинированно, т.е. в различных сочетаниях. С их помощью описывают нормативные предписания, определяют правовые понятия, а также составы уголовных правонарушений и деликтов (преступлений).

В процессе толкования норм права и различного рода правовых документов (договоров, соглашений и т.п.) требуется тщательный и точный логико-грамматический анализ их структуры, выявление типов и последовательности логических связей между составляющими сложного суждения.

Важную роль при этом выполняют такие технические знаки, как скобки. В логике их функции аналогично использованию скобок в языке математики.

Например, высказывание – «Преступление совершил А и В или С» не отличается определенностью, поскольку не ясно, какая из двух логических связок (и, или) является главной. Это высказывание можно истолковать: 1) «А и (В или С)»; 2) «А и В (или С)». По логической значимости эти два высказывания далеко не эквивалентны.

Овладение навыками логического анализа сложных высказываний с использованием символического языка для уяснения смысла правовых контекстов является эффективным средством точного истолкования и правильного применения норм в правовом процессе.

Упражнения. Определить вид, логическую форму и записать формально сложные суждения.

1. Жарко и идет дождь. ( это конъюнкция, А^В)

2. Или я тебя не понимаю, или ты не хочешь меня понять.( это строгая дизъюнкция, АВ)

3. Не приходом людей богатеют, а расходом.( это конъюнкция, А^B)

4. Экзамены обычно сдают только те, кто хорошо учиться в течение семестра ( это эквиваленция, АВ)

5. Если совершено противоправное действие, то за ним следует правовая санкция ( это импликация, АВ)

6. “Если А, то В”- истинно, при этом А =0, В=0. Можно ли определить, это импликация или двойная импликация?

В данном случае нельзя сказать, будет ли заданное сложное суждение импликацией или двойной импликацией (эквиваленцией), т. к. при ложности А и В импликация и двойная импликация будут истинными (см. таблицы импликации и эквиваленции).

7. Известно, что А=1, С=0. Определить значение истинности сложного суждения:

А(ВС).

Составим таблицу истинности. Из таблицы следует, что при А=1 и С=0 заданная эквиваленция имеет разные значения истинностей (0 – вторая строка таблицы, 1 – четвертая строка таблицы), т.е. имеет место неопределенность.

А	В	С	В→C	А↔(В→C)
1	1	1	1	1
1	1	0	0	0
1	0	1	1	1
1	0	0	1	1
0	1	1	1	0
0	1	0	0	1
0	0	1	1	0
0	0	0	1	0

8. Известно , что А=1. Что можно сказать о значении следующих импликаций:

8.1. →(ВC)

Т.к. по условию А=1, то =0. Согласно импликации при ложном основании высказывание будет истинным. Проверим это с помощью таблицы истинности.

А	В	С	ВVC	→(ВVC)
1	1	1	1
1	1	0	1
1	0	1	1
1	0	0	0
0	1	1	1	1
0	1	0	1	1
0	0	1	1	1
0	0	0	0	1

Очевидно, таблица истинности подтверждает сделанное до ее составления утверждение.

8.2. (А ۸ В) → С

А=0 Согласно конъюнкции (А ۸ В)=0 и согласно импликации при ложном основании имеем истинное высказывание, т.е. данное высказывание истинно.

8.3. (В ۸ С) → (АC) А=1. При А=1 согласно дизъюнкции (АVС)=1. При любом значении истинности (В۸ С) согласно импликации данное высказывание истинно(1).

Задачи:

Известно, что А=1, С=0. Определить значение истинности высказываний:

1. А ↔ (В → )

Если С=0, то =1.Тогда согласно импликации (В →) =1.

При А=1, согласно эквиваленции, это высказывание истинно.

2. (В) ↔

Т.к. по условию А=1, С=0, то =0,=1, В – не определено (составьте таблицу истинности А, В, С, по которой при А=0, С=1 следует что В, т.е. имеем неопределенность. По дизъюнкции при=0 , В =Н, (АВ)=Н, следовательно, эквиваленция (AB)↔С также не определена.

Ряд законов классической логики, содержащих импликации и не согласующихся с обычными, или интуитивными, представлениями о логических связках, получил название парадоксов: два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы.

Например: “Люди жестоки, но человек добр”.

Парадоксальным казался в своё время закон всемирного тяготения И.Ньютона, объединявший такие разные виды движений, как падение яблока и движение планет по орбитам.

Один из наиболее известных логических парадоксов - “Лжеца” парадокс. В простейшем его варианте человек произносит фразу: ”Я лгу”. Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, значит , сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то его высказывание является ложью.

Открытие “Лжеца-парадокс” приписывается древнегреческому философу Евбулиду (4 в. до н. э.). Оно произвело громадное впечатление. Философ- стоик Хрисипп (281-208 до н. э.) посвятил ему три книги. Филет Косский, отчаявшись разрешить парадокс, покончил с собой. Известный греческий логик Диодор Кронос ( умер в 307г. до н.э.) уже на склоне лет дал обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдет решение ”Лжеца”, и вскоре умер, ничего не добившись. В древности “ Лжец” рассматривался как хороший пример двусмысленного выражения. В средние века он был отнесен к “ неразрешимым предложениям” и сделался объектом систематического анализа. Особым вниманием “ Лжец” пользуется в современной логике. Рассмотрим один из вариантов “ Лжеца”:

На острове живут туземцы: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят только правду, а лжецы - врут. Встретились два туземца и один из них произнес фразу:” По крайней мере, один из нас лжец”. Кто из встретившихся туземцев рыцарь, а кто лжец?

Для решения задачи предположим, что произнесший фразу X-лжец. Из предположения, что X- лжец, следует, что суждение «По крайней мере один из нас лжец» - ложно. Но с другой стороны, его содержание истинно (по условию). Противоречие означает, что наше предположение” X- лжец” неверно. Следовательно, X- рыцарь. По закону исключительного третьего, зная, что на острове живут рыцари и лжецы, остается одно-Y- лжец.

Рассмотрим другой вариант высказывания одного из туземцев. Лукавый туземец говорит: «Я-лжец или Y-рыцарь”. Кто Y?

Предположим, что он X-лжец. Из предположения следует, что его высказывание ложно. Но это высказывание дизъюнкции (AVB).Дизъюнкция ложна только в том случае, когда оба суждения ложны (см. табл. дизъюнкции). Но когда X-лжец ( по предположению) произносит фразу: «Я лжец», то она соответствует действительности, то есть она истинна. Получается противоречие - с одной стороны «Я-лжец» – ложна (по дизъюнкции),а с другой стороны она истинна( она соответствует нашему предположению, что X-лжец). Если есть противоречие, то это означает, что наше предположение было неверно и по закону исключенного третьего X- рыцарь.

Если X-рыцарь произнес фразу: «Я лжец или Y рыцарь”, то она истинна. Это сложное суждение-дизъюнкция. Она истинна тогда, когда истинно хотя бы одно из суждений (см. табл. дизъюнкции).

Но поскольку X- рыцарь, то его суждение “Я лжец”- ложно. И так:дизъюнкция “ Я лжец или Y рыцарь”- истинна, но одно из ее суждений (“Я лжец”)- ложно. Для того, чтобы дизъюнкция была истинной, надо, чтобы хотя бы одно суждение было истинно. Значит”Y- рыцарь”- истинно.

Итак, X- рыцарь,Y- рыцарь.

4.4. 1.Какие суждения называются сложными?

2.Способы образования сложных суждений.

3.Особенности определения истинности сложных суждений.

4.Как составить таблицы истинности конъюнкции, дизъюнкции,

строгой дизъюнкции, импликации и эквиваленции?

4.5 Упражнения 1. К какому виду относятся ниже приведенные суждения?

Запишите их структуру формулой логики высказываний.

1. Националистическая пропаганда может быть совершена устно или письменно.

2. Поверь ему - окажешься обманутым.

3. Иль со щитом, иль на щите.

4. Неприятное впечатление на слушателей производит не только

физическая скованность, но и беспорядочная жестикуляция.

5. Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь.

6. Ни извиняющийся тон, ни упорство не украшают споры.

7. Хотя пошел дождь, соревнования состоялись.

8. Что неясно представляешь, то неясно и высказываешь:

неточность и запутанность выражений свидетельствует о запутанности

мысли(Н.Г.Чернышевский).

9. Вода и камень, стихи и проза, лед и пламень не столь различны меж собой

(А.C.Пушкин).

10. Кто хочет что-нибудь сделать, находит средства, кто не хочет ничего делать,

находит оправдания.

11. Скажи то, что сказал, только в ином тоне, без гнева, и твои аргументы окажутся

наисильнейшими.

12. Успех общения во многом зависит от ясности и однозначности используемого языка.

13. Говорящий туманно всегда рискует быть превратно понятым или быть не

понятым вообще.

14. Темные речи прощаются только прорицателям и пророкам: сам

предмет их суждений лишен неопределенности.

15. Абсолютная прозрачность смысла недостижима даже в науке, и связано это

прежде всего не с субъективными и случайными ошибками отдельных исследований,

а с самой природой научного познания.

16. Невольное нарушение правил употребления языка - важный и постоянный

источник туманности и темноты.

Упражнения 2. Установите, какие из приведенных суждений истинны:

1. А V В = В →(А→В)

2. (А۸В)→А = А→(АVС)