I. ; II. ;

III. ; IV. .

Векторные характеристики электрического поля исвязаны между собой следующим соотношением:.

Векторные характеристики магнитного поля и связаны между собой следующим соотношением: .

Кроме того, вектора плотности тока проводимости и напряженности, фигурирующие в уравнениях Максвелла, также связаны между собой:

,

где – удельная проводимость вещества.

Уравнения Максвелла являются наиболее общими уравнениями для электрических и магнит­ных полей.

Тема 9. Электромагнитные колебания в колебательном контуре

Колебательный контур– это электрическая цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивностьюL,конденсатора емкостьюСи резистора сопротивлениемR.Видеальном колебательном контуресчитается, что сопротивлениеRпренебрежимо мало (R»0), что позволят видеальном контуре (рис. 19), состоящем только из катушки индуктивности и конденсатора, получить незатухающиеэлектромагнитные колебания.

Рис. 19

Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.

Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ±q. Тогда в начальный момент времениt=0 (рис. 19,а)между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем токI. Когда конден­сатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энер­гию магнитного поля катушки (рис. 19,б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся осла­бить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 19,в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 19,г), и система к моменту времениt=Т(Т– период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 19,а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разряд­ки и зарядки конденсатора, то есть начнутся периодические незатухающие колебания величины зарядаqна обкладках конденсатора, напряженияU_C на конденсаторе и силы токаI, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжениеU_Cна конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть :

.

Исходя из того, что U_C=q/C, аI=dq/dt, получаемдифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебанийвеличины зарядаqна обкладках конденсатора:

или .

Решением этого дифференциального уравнения является функция q(t), то есть уравнение свободных незатухающих гармонических колебанийвеличины зарядаqна обкладках конденсатора:

,

где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

q₀– амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора;

–круговая (или циклическая) частота колебаний () ;

=2/T (T– период колебаний,– формула Томсона);

–фаза колебаний в момент времени t;

–начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t=0.

Уравнение свободных затухающих гармонических колебаний. В реальном колебательном контуре учитывается, что кроме катушки индуктивностьюL,конденсатора емкостьюС, в цепи также имеется резистор сопротивлениемR, отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободныезатухающие колебания– колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.

Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью Си резисторе сопротивлениемR складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать:

,

где – электродвижущая сила самоиндукции в катушке;

U_C – напряжение на конденсаторе (U_C =q/C);

IR – напряжения на резисторе.

Исходя из того, что I=dq/dt, получаемдифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебанийвеличины зарядаqна обкладках конденсатора:

или ,

где – коэффициент затухания колебаний () ,.

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t), то есть уравнение свободных затухающих гармонических колебанийвеличины зарядаqна обкладках конденсатора:

,

где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;

–амплитуда затухающих колебаний заряда в момент времени t ;

q₀– начальная амплитуда затухающих колебаний заряда;

–круговая (или циклическая) частота колебаний ( );

–фаза затухающих колебаний в момент времени t;

–начальная фаза затухающих колебаний.

Период свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре :

.

Вынужденные электромагнитные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо в процессе колебаний компенсировать потери энергии. Такая компенсация в реальном колебательном контуре возможна с помощью внешнего периодически изменяющегося по гармоническому закону переменного напряженияU(t):

.

В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебаний примет вид:

или .

Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t):

.

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой wи являют­ся гармоническими, а амплитудаи фаза колебанийопределяются следующими выражениями:

; .

Отсюда следует, что амплитуда колебаний величины заряда имеет максимум при резонансной частоте внешнего источника :

.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к ча­стоте, близкой частоте , называетсярезонансом.