Тема 2. Работа сил электростатического поля. Потенциал

Если в электростатическом поле, создаваемом точечным зарядом q, перемещается другой пробный зарядq₀ из точки1в точку2вдоль произвольной траектории (рис. 7),то при этом совершается работа сил электростатического поля.

Элементарная работа dAсилына элементарном перемещенииравна:

.

Из рисунка 7 видно, что .

Тогда ().

Работа Апри перемещении зарядаq₀вдоль траектории от точки1 до точки2:

Рис. 7

,

то есть работа при перемещении заряда из точки 1в точку2в электростатическом поле не зависит от траектории перемещения, а определяется только положениями начальной (1) и конечной (2) точек, то естьэлектростатическое поле точечного заряда являетсяпотенциальным.

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда q₀ из точки1в точку2, выражается следующим образом:

,

где φ₁иφ₂ –потенциалы электростатического поляв точках1и2.

Потенциал электростатического поля определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной С, то есть для поля точечного заряда q:

.

Тогда ,.

Разность потенциаловдвух точек1и2в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении пробного точечного поло­жительного зарядаq₀ из точки1в точку2 :

.

Если считать, что при удалении на бесконечность потенци­ал электростатического поля обращается в нуль (φ_∞=0),то потенциалφ₁в данной точке поля можно определить следующим образом:

,

то есть потенциалjв данной точке поля равен работе сил электростатического поля при перемещении точечного поло­жительного единичного заряда из данной точки поля на бесконечность.

Циркуляцией вектора напряженности электростатического поляпо произвольному замкнутому контуру l называется интеграл

.

Для того, чтобы найти циркуляцию вектора напряженности по произвольному замкнутому контуруL, необходимо выбрать направление обхода контура, разбить этот контур Lна элементы, для каждого элементарассчитать величину(a – угол между векторамии), а затем все эти величины сложить, что приводит к искомому интегралу.

Однако для электростатического поля циркуляция вектора напряженности по произвольному замкнутому контуруLможет быть легко получена из формулы работы, совершаемой силами электростатического поля при перемещении пробного зарядаq₀ по произвольному замкнутому контуруL.

С одной стороны, эта работа равна:

,

а с учетом того, что эта работа равна:

.

С другой стороны, эта работа может быть определена с помощью формулы:

,

из которой следует, что для произвольного замкнутого контура эта работа равна нулю, так как . Тогда и циркуляция векторапо произвольному замкнутому контуруLтоже равна нулю, то есть:

.

Величина , гдеa – угол между векторамииможет быть записана в виде скалярного произведения векторови, то есть, как, а полученное соотношение для циркуляции векторапримет вид:

.

Полученное соотношение является признаком потенциального силового поля. Обращение в нуль циркуляции вектораозначает, что силовые линии электростатического поля не являются замкнутыми, они начинаются и заканчиваются на зарядах (соответственно на положительных или отрицательных) или же уходят в бесконечность, что также является свойствомпотенциального силового поля.