Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля

Напряженность и потенциалφэлектростатического поля связаны между собой следующим образом:

= – grad φили, где

–единичные векторы координатных осей Ох, Оy,Оz, соответственно.

Знак минус в приведенной формуле означает, что вектор напряженности электростатического поля направлен всторону максимального убывания потенциала j .

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля используются эквипотенциальные поверхности, то есть поверхности, во всех точках которых потенциалj имеет одно и то же значение.

Например, для поля, созданного точечным зарядом q, потенциалj определяется выражением:, а эквипотенциальными поверхностями являются кон­центрические сферы (рис. 8). Из этого рисунка видно, что в случае точечного заряда силовые линии поля (штриховые линии)нормальнык эквипотенциальным поверхностям.

Рис. 8

Это свойство нормальноговзаимного расположения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей поля является общим для любых случаев электростатического поля. То есть, зная расположение силовый линий электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно построить силовые линии электростатического поля.

Магнитное поле

Тема 3. Магнитное поле. Закон Био-Савара-Лапласа

Электрический ток создает поле, действующее на магнитную стрелку. Стрелка ориентируется по касательной к окружности, лежащей в плоскости, перпендикуляной к проводнику с током (рис. 9).

Основной характеристикой магнитного поля является вектор индукция . Принято, что вектор индукциямагнитного поля направлен в сторону север-ного полюса магнитной стрелки, помещенной в данную точку поля (рис. 9).

По аналогии с электрическим полем, магнитное поле также может быть изображено графически с помощью силовых линий (линий индукции магнитного поля).

Силовая линия – это такая линия, касательная к которой в каждой точке совпадает по направлению с вектором индукции магнитного поля. Силовые линии магнитного поля, в отличие от силовых линий электростатического поля, являются замкнутыми и охватывают проводники с током. Направление силовых линий задается правилом правого винта (правилом буравчика): головка винта, ввинчиваемого по направлению тока, враща­ется в направлении линий магнитной индукции (рис. 9).

Рис. 9

Для нескольких источников магнитного поля согласно принципу суперпозиции магнитных полей индукция результирующего магнитного поля равна векторной сумме индукций всех отдельных магнитных полей:

.

Вектор индукции магнитного поля, создаваемого проводником с током, можно определить с помощьюзакона Био-Савара-Лапласа. При этом необходимо учесть то, чтозакон Био-Савара-Лапласа позволяет найти модуль и направление лишь вектора индукциимагнитного поля, создаваемого элементом проводникас током. Поэтому, для определения вектора индукциимагнитного поля, создаваемого проводником с током, необходимо первоначально разбить этот проводник на элементы проводника, для каждого элемента с помощьюзакона Био-Савара-Лапласанайти вектор индукции, а затем, используя принцип суперпозиции магнитных полей, сложить векторно все найденные вектора индукции.

Закон Био-Савара-Лапласа в векторной форме:

,

где – индукция магнитного поля в точкеM, заданной радиусом-вектором , проведенным от начала векторадо этой точки;

–векторное произведение векторов и;

–магнитная постоянная,

–магнитная проницаемость среды.

Направление вектора определяется по правилу правого винта: направление враще­ния головки винта дает направление вектора, если поступательное движение винта совпадает с направлением тока в элементе проводника (рис. 10).

В скалярном виде закон Био-Савара-Лапласа:

, где – угол между векторамии.

Магнитное поле линейного тока. Для нахождения индукции магнитного поля, созданного прямым проводником с током (рис. 11), необходимо разбить весь проводник на элементы, для каждого элемента проводникас токомI найти вектор индукции , а затем векторно сложить все найденные.

В произвольной точке М, удаленной от оси проводника на расстояние b (рис. 11), векторы от всех элементов проводникас токомI имеют одинаковое направление, перпендикулярное плоскости чертежа («к нам»). Поэтому сложение векторов можно заменить сложением их модулей.

По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора магнитной индукции в точкеМ поля, созданного элементом проводникас током I :

.

В качестве переменной интегрирования выберем угол , выразив через этот угол все остальные величины.

Из рисунка 11 следует, что , а с другой стороны,.

Тогда , а модуль вектора магнитной индукциив точкеМ:

.

Из прямоугольного треугольника DOM :

, откуда .

Следовательно, индукция dB, создаваемая элементом проводникаdl с током I :

.

Теперь можно перейти к интегрированию:

.

Так как угол для прямого тока изменяется в пределах отдо, то магнитная индукция поля прямого тока:

.

Следовательно,

.

Магнитное поле в центре кругового проводника с током.Для нахождения индукции магнитного поля в центре кругового проводника с током необходимо разбить этот проводник на элементы, причем все элементы проводника с током создают в центре кругового тока магнитные поля одинакового направления – вдоль нормали к плоскости витка (рис. 12). Поэтому сложение век­торовможно заменить сложением их модулейdB.

По закону Био-Савара-Лапласа модуль вектора :

.

Так как все элементы проводника перпендикулярны соответствующим радиусам-векторам(рис. 12), тоsina= 1 для всех элементов. Расстояния rдля всех элементов проводникатакже одинаковые (r = R).

Тогда выражение для модуля вектора примет вид:

.

Теперь для нахождения модуля вектора можно перейти к интегрированию:

.

Следовательно, индукция магнитного поля Bв центре кругового проводника радиусомR с токомI:

.