Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_8_glava_2012-2013

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Найдём все прямые, лежащие на однополостном гиперболоиде (прямолинейные образующие однополостного гиперболоида). Преобразуем уравнение гиперболоида

Очевидно, что каждая из указанных прямых лежит на гиперболоиде. Они образуют на гиперболоиде два семейства. Выясним геометрический смысл этих семейств. Произвольный однополостный гиперболоид получается из гиперболоида

x2+y2 z2=1 сжатием вдоль осей координат. При аффинных преобразованиях прямые переходят в прямые.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Теперь в системе уравнений (8) умножим первое уравнение на1+cossin '' и прибавим ко второму. Получим

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Пусть l произвольная прямая, лежащая на гиперболоиде x2 + y2 z2 = 1. Эта прямая пересекает горловое сечение в некоторой точке M. Повернём прямую l вокруг оси Oz так, чтобы точка M перешла в точку (0; 1; 0) горлового сечения. Пусть l0 образ прямой l при этом повороте. Спроектируем

ортогонально прямую l0 на плоскость z = 0. Прямая l0 перейдёт во внешность круга x2 + y2 = 1, поскольку она лежит на гиперболоиде, а весь гиперболоид проектируется во внешность круга. Кроме того образ прямой l0 при проектировании содержит точку (0; 1; 0) окружности. Следовательно, прямая l0 проектируется в касательную y 1 = 0 окружности, а поэтому лежит в плоскости y = 1. Пересечение плоскости y = 1 с гиперболоидом x2 + y2 z2 = 1 это две прямые

((

содержалась в одном из семейств I или II прямолинейных образующих.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.17. Конус.

В трёхмерном евклидово аффинном пространстве конус задаётся в канонической прямоугольной системе координат уравнением xa22 + yb22 z2 = 0 (a b > 0), При a = b получаем конус вращения. Он получается вращением любой из прямых

((

может быть получен из кругового конуса сжатием вдоль оси Oy. Выясним, какие кривые могут быть получены как плоские сечения конуса. Рассмотрим только случай конуса вращения. Обозначим через '0 угол между образующей конуса и осью Oz. Если плоскость не проходит через начало координат и образует с осью Oz угол ' > '0, то эта плоскость будет пересекать конус по ограниченной кривой, состоящей более чем из одной точки.

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Линия пересечения плоскости с поверхностью второго порядка кривая порядка не больше 2. Единственная ограниченная кривая (отличная от точки) порядка не больше 2 это эллипс. Итак, если ' > '0, то сечение эллипс. Если ' < '0 и плоскость не проходит через начало координат, то получаемая в сечении кривая состоит из двух

компонент связности. Поэтому в этом случае сечение является гиперболой. Если ' = '0 и плоскость не проходит через начало координат, то сечение неограниченная кривая, состоящая из одной компоненты связности. Поэтому в этом случае сечение является параболой. Плоскости, проходящие через начало координат, пересекают конус либо по точке (при ' > '0), либо по паре пересекающихся прямых (при ' < '0), либо по прямой (при ' = '0). Легко видеть, что пустое множество и параллельные прямые не являются плоскими сечениями конуса.

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.18. Эллиптический параболоид.

В трёхмерном евклидово аффинном пространстве эллиптический параболоид задаётся в канонической

прямоугольной системе координат уравнением x2 + y2 = 2z

a2 b2

(a b > 0), Ось Oz ось симметрии, плоскости x = 0 и

y = 0 плоскости симметрии. При a = b имеем параболоид вращения, он получается при вращении параболы вокруг её оси.

При сечении плоскостями z = h при h > 0 получаются подобные эллипсы. При сечении плоскостью y = h получаем параболу

(

y = h;

xa22 = 2 z 2hb22 :

Гл. 8. Поверхности второго порядка

Итак, поверхность эллиптического параболоида может быть

Гл. 8. Поверхности второго порядка

§ 8.19. Гиперболический параболоид.

В трёхмерном евклидово аффинном пространстве гиперболический параболоид задаётся в канонической прямоугольной системе координат уравнением xa22 yb22 = 2z. Ось Oz ось симметрии, плоскости x = 0 и y = 0 плоскости симметрии. Гиперболический параболоид пересекается с плоскостью z = 0 по двум прямым, плоскости z = h при h 6= 0 пересекают поверхность по гиперболе.

Плоскости x = h и y = h пересекают поверхность гиперболоида по параболам. Так же как и в случае эллиптического параболоида легко установить, что гиперболический параболоид может быть получен движением параболы

x = 0;

(

y = 0;

параллельно, а её вершина скользит по параболе 2

xa2 = 2z:

А. А. Егоров (yegorov@math.nsc.ru) Ан.геом.(II пот.) ММФ НГУ (2012-13)